Determine se é subespaço vetorial de :
(a) ;
(b)
©

Passo 1

Olá! Vamos resolver juntos esse exercício sobre subespaços vetoriais em . Para determinar se um conjunto é um subespaço vetorial, precisamos verificar três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estiverem no conjunto, a soma deles também deve estar.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor estiver no conjunto, qualquer múltiplo desse vetor também deve estar.
Vamos analisar cada item do exercício seguindo esses passos.

Passo 2

Item (a):
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está nesse conjunto. Substituindo e na condição , temos . Então, o vetor está no conjunto, mas o vetor zero não está. Portanto, já falhamos na primeira condição para ser um subespaço vetorial.

Passo 3

Item (b):
Vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. Substituindo , temos o vetor , que não é o vetor zero. Logo, a primeira condição já não é atendida.

Passo 4

Item ©:
Primeiro, verificamos se o vetor zero satisfaz a equação , ou seja, . Sim, o vetor zero está no conjunto.
Agora, vamos verificar a adição. Se temos dois vetores e que satisfazem e , então a soma é . Verificamos:
Então, a soma também satisfaz a equação .
Por fim, a multiplicação por escalar. Se temos um vetor no conjunto, e multiplicamos por um escalar , obtemos . Verificamos:
Portanto, o vetor resultante também satisfaz a equação .

Resposta

© Sim é um subespaço vetorial de .

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