Determine se é subespaço vetorial de R^3:
(a) (a, b, c) in R^3 mid a, c in R, b=a+c+1;
(b) (a, 1,1) in R^3 mid a in R
© (a, b, c) in R^3 mid a, b in R, 2 a+3 b=5 c

Passo 1

Olá! Vamos resolver juntos esse exercício sobre subespaços vetoriais em . Para determinar se um conjunto é um subespaço vetorial, precisamos verificar três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estiverem no conjunto, a soma deles também deve estar.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor estiver no conjunto, qualquer múltiplo desse vetor também deve estar.
Vamos analisar cada item do exercício seguindo esses passos.

Passo 2

Item (a):
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está nesse conjunto. Substituindo e na condição , temos . Então, o vetor está no conjunto, mas o vetor zero não está. Portanto, já falhamos na primeira condição para ser um subespaço vetorial.

Passo 3

Item (b):
Vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. Substituindo , temos o vetor , que não é o vetor zero. Logo, a primeira condição já não é atendida.

Passo 4

Item ©: 2(a1 + a2) + 3(b1 + b2) = 2a1 + 2a2 + 3b1 + 3b2 = (2a1 + 3b1) + (2a2 + 3b2) = 5c1 + 5c2 = 5(c1 + c2)
Primeiro, verificamos se o vetor zero 2(ka) + 3(kb) = k(2a + 3b) = k(5c) = 5(kc) satisfaz a equação , ou seja, . Sim, o vetor zero está no conjunto.
Agora, vamos verificar a adição. Se temos dois vetores e que satisfazem e , então a soma é . Verificamos:
Então, a soma também satisfaz a equação .
Por fim, a multiplicação por escalar. Se temos um vetor no conjunto, e multiplicamos por um escalar , obtemos . Verificamos:
Portanto, o vetor resultante também satisfaz a equação .

Resposta

© Sim é um subespaço vetorial de .

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