Determine se é subespaço vetorial de
:
(a)
;
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Olá! Vamos resolver juntos esse exercício sobre subespaços vetoriais em
. Para determinar se um conjunto é um subespaço vetorial, precisamos verificar três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se dois vetores estiverem no conjunto, a soma deles também deve estar.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor estiver no conjunto, qualquer múltiplo desse vetor também deve estar.
Vamos analisar cada item do exercício seguindo esses passos.
Passo 2
Item (a):
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está nesse conjunto. Substituindo
e
na condição
, temos
. Então, o vetor
está no conjunto, mas o vetor zero
não está. Portanto, já falhamos na primeira condição para ser um subespaço vetorial.
Passo 3
Item (b):
Vamos verificar se o vetor zero
está no conjunto. Substituindo
, temos o vetor
, que não é o vetor zero. Logo, a primeira condição já não é atendida.
Passo 4
Item ©:
Primeiro, verificamos se o vetor zero
satisfaz a equação
, ou seja,
. Sim, o vetor zero está no conjunto.
Agora, vamos verificar a adição. Se temos dois vetores
e
que satisfazem
e
, então a soma é
. Verificamos:
Então, a soma também satisfaz a equação
.
Por fim, a multiplicação por escalar. Se temos um vetor
no conjunto, e multiplicamos por um escalar
, obtemos
. Verificamos:
Portanto, o vetor resultante também satisfaz a equação
.
Resposta
© Sim é um subespaço vetorial de
.
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(a) e
(b) e
e
(a)
(b)
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Considere a aplicação de
em
dada por
Mostre que
é uma transformação linear.
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.