Verifique se os vetores são LI ou LD.
(a) e
(b) e e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se os vetores são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Linear, especificamente a parte de independência e dependência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar montar matrizes com os vetores dados e analisar se existe uma combinação linear não trivial que iguala a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são vetores linearmente independentes. Vetores são considerados LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Caso contrário, eles são LD.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a) do exercício:
Para facilitar, vamos tratar cada matriz como um vetor em . Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos montar uma matriz onde cada linha é um desses vetores:
Para verificar a independência linear, precisamos ver se o determinante dessa matriz é diferente de zero. Porém, como temos mais colunas do que linhas, vamos analisar o posto da matriz.

Passo 5

Vamos aplicar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz:
Primeiro, trocamos a primeira e a segunda linha para facilitar:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Agora, somamos da segunda linha na terceira linha:

Passo 6

Como conseguimos reduzir a matriz para uma forma onde todas as três linhas têm pivôs (não há linha de zeros), o posto da matriz é 3. Como o número de vetores é 3 e o posto é igual ao número de vetores, isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b):
Novamente, tratando cada matriz como um vetor em :

Passo 8

Vamos montar a matriz com esses vetores:
Novamente, aplicaremos o método de eliminação de Gauss para verificar o posto da matriz.

Passo 9

Primeiro, mantemos a primeira linha:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Agora, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha e adicionamos a segunda linha à quarta linha:
Finalmente, somamos a terceira linha à quarta linha:

Passo 10

Observamos que a última linha é toda zero, o que indica que o posto da matriz é 3. Porém, temos 4 vetores. Como o posto é menor que o número de vetores, isso significa que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

(a) Os vetores , e são linearmente independentes.
(b) Os vetores , , e são linearmente dependentes.

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Determine se é subespaço vetorial de :
(a) ;
(b)
©
Considere a aplicação de em dada por
Mostre que é uma transformação linear.