Verifique se os vetores são LI ou LD.
(a) e
(b) e e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se os vetores são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Linear, especificamente a parte de independência e dependência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar montar matrizes com os vetores dados e analisar se existe uma combinação linear não trivial que iguala a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são vetores linearmente independentes. Vetores são considerados LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Caso contrário, eles são LD.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a) do exercício:
Para facilitar, vamos tratar cada matriz como um vetor em . Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos montar uma matriz onde cada linha é um desses vetores:
Para verificar a independência linear, precisamos ver se o determinante dessa matriz é diferente de zero. Porém, como temos mais colunas do que linhas, vamos analisar o posto da matriz.
Passo 5
Vamos aplicar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz:
Primeiro, trocamos a primeira e a segunda linha para facilitar:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Agora, somamos da segunda linha na terceira linha:
Passo 6
Como conseguimos reduzir a matriz para uma forma onde todas as três linhas têm pivôs (não há linha de zeros), o posto da matriz é 3. Como o número de vetores é 3 e o posto é igual ao número de vetores, isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b):
Novamente, tratando cada matriz como um vetor em :
Passo 8
Vamos montar a matriz com esses vetores:
Novamente, aplicaremos o método de eliminação de Gauss para verificar o posto da matriz.
Passo 9
Primeiro, mantemos a primeira linha:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Agora, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha e adicionamos a segunda linha à quarta linha:
Finalmente, somamos a terceira linha à quarta linha:
Passo 10
Observamos que a última linha é toda zero, o que indica que o posto da matriz é 3. Porém, temos 4 vetores. Como o posto é menor que o número de vetores, isso significa que os vetores são linearmente dependentes.