Verifique se os vetores são LI ou LD.
(a) e
(b) e e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se os vetores são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Linear, especificamente a parte de independência e dependência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar montar matrizes com os vetores dados e analisar se existe uma combinação linear não trivial que iguala a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são vetores linearmente independentes. Vetores são considerados LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Caso contrário, eles são LD.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a) do exercício:
Para facilitar, vamos tratar cada matriz como um vetor em . Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos montar uma matriz onde cada linha é um desses vetores:
Para verificar a independência linear, precisamos ver se o determinante dessa matriz é diferente de zero. Porém, como temos mais colunas do que linhas, vamos analisar o posto da matriz.
Passo 5
Vamos aplicar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz:
A = 0 & 2 & 3 & 1 1 & 0 & 2 & -1 2 & -1 & 1 & 0
Primeiro, trocamos a primeira e a segunda linha para facilitar:
A = 1 & 0 & 2 & -1 0 & 2 & 3 & 1 2 & -1 & 1 & 0
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
A = 1 & 0 & 2 & -1 0 & 2 & 3 & 1 0 & -1 & -3 & 2
Agora, somamos A = 1 & 0 & 2 & -1 0 & 2 & 3 & 1 0 & 0 & -32 & 52 da segunda linha na terceira linha:
Passo 6
Como conseguimos reduzir a matriz para uma forma onde todas as três linhas têm pivôs (não há linha de zeros), o posto da matriz é 3. Como o número de vetores é 3 e o posto é igual ao número de vetores, isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Observamos que a última linha é toda zero, o que indica que o posto da matriz é 3. Porém, temos 4 vetores. Como o posto é menor que o número de vetores, isso significa que os vetores são linearmente dependentes.