Identificar e descrever as superfícies de equações dadas. x^2+y^2-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar e descrever a superfície dada pela equação . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies como cilindros e esferas. Para resolver, a gente vai precisar completar o quadrado e analisar a forma resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação x^2 + y^2 - 2y = 0 . Queremos deixar isso mais claro, então vamos reorganizar os termos para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado em relação ao termo y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 . Para isso, pegamos os termos que envolvem e fazemos:
Isso porque , então subtraímos 1 para manter a igualdade.

Passo 4

Substituímos de volta na equação original:
x^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0
Então, vamos isolar os termos:
x^2 + (y - 1)^2 = 1

Passo 5

Agora, essa equação está na forma padrão de um círculo no plano (x - 0)^2 + (y - 1)^2 = 1 com centro em e raio 1:
Como não há termo envolvendo , isso significa que essa forma se estende ao longo do eixo , formando um cilindro.

Resposta

A superfície dada pela equação é um cilindro circular reto com raio 1, cujo eixo está alinhado ao eixo e é centrado na linha .

Exercícios relacionados