Considere base de . Determinar as coordenadas do vetor em relação a se:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas do vetor na base de . Para isso, vamos usar o conteúdo de mudança de base e combinação linear. Precisamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores que formam a base .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existem escalares , e tais que:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares nos vetores:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos igualar cada componente correspondente dos vetores:
Começamos pela terceira equação, já que ela nos dá o valor de :
Substituindo na primeira equação:
E substituindo na segunda equação:

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são .

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(a) Necessariamente, um dos vetores é nulo.
(b) Se , então .
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