Considere B=(1,0,0),(0,1,0),(1,-1,1) base de R^3. Determinar as coordenadas do vetor v em relação a B se:
v=(1,-2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas do vetor na base de . Para isso, vamos usar o conteúdo de mudança de base e combinação linear. Precisamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores que formam a base .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existem escalares v = a cdot (1,0,0) + b cdot (0,1,0) + c cdot (1,-1,1) , (1, -2, 1) = a cdot (1,0,0) + b cdot (0,1,0) + c cdot (1,-1,1) e tais que:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares nos vetores:
(1, -2, 1) = (a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1, a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot (-1), a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 1)
Simplificando, temos:
(1, -2, 1) = (a + c, b - c, c)

Passo 4

Agora, vamos igualar cada componente correspondente dos vetores:
  1. c = 1
  2. a + 1 = 1 implies a = 0
  3. b - 1 = -2 implies b = -1
Começamos pela terceira equação, já que ela nos dá o valor de :
Substituindo na primeira equação:
E substituindo na segunda equação:

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são .

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