Considere B=v, u, w uma base do R^3, onde v=(1,2,3), u=(2,5,3) e w=(1,0,1).
T é invertível? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base do espaço , onde:
A pergunta é: O operador linear é invertível? Para responder isso, vamos precisar entender conceitos de bases, matrizes e inversibilidade.

Passo 2

Um operador linear A = 1 & 2 & 1 2 & 5 & 0 3 & 3 & 1 pode ser representado por uma matriz quando escolhemos uma base para o espaço. Aqui, a base é formada pelos vetores . A matriz que representa terá esses vetores como colunas:

Passo 3

Para determinar se é invertível, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (5 cdot 1 - 0 cdot 3) - 2 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 3) + 1 cdot (2 cdot 3 - 5 cdot 3) :
det(A) = 1 cdot 5 - 2 cdot 2 + 1 cdot (6 - 15)
det(A) = 5 - 4 + (-9) = -8

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. Isso significa que o operador linear também é invertível.

Resposta

Sim, o operador linear é invertível porque a matriz que o representa tem determinante diferente de zero ( ).

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