Seja P uma parábola de diretriz d: x+y-4=0 e foco F(10,6)
(a) Determine a equação cartesiana dessa parábola.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma parábola P que possui uma diretriz dada pela equação d: x + y - 4 = 0 e um foco em F(10,6). Nosso objetivo aqui é encontrar a equação cartesiana dessa parábola. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a definição de parábola como o conjunto de pontos equidistantes ao foco e à diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância de um ponto qualquer (x, y) à diretriz d: x + y - 4 = 0 pode ser calculada usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta:
dreta = |A x + B y + C|raizA^2 + B^2
Onde A, B e C são os coeficientes da equação da reta. No nosso caso, A = 1, B = 1 e C = -4, então a distância fica:
dreta = |x + y - 4|raiz1^2 + 1^2 = |x + y - 4|raiz2

Passo 3

Agora, a distância do ponto (x, y) ao foco F(10,6) é dada pela distância euclidiana:
dfoco = raiz(x - 10)^2 + (y - 6)^2

Passo 4

Como a parábola é o conjunto de pontos onde essas duas distâncias são iguais, temos a equação:
raiz(x - 10)^2 + (y - 6)^2 = |x + y - 4|raiz2

Passo 5

Vamos eliminar a raiz quadrada para simplificar. Elevamos ambos os lados ao quadrado:
(x - 10)^2 + (y - 6)^2 = ( x + y - 4raiz2 )^2
Simplificando o lado direito:
(x - 10)^2 + (y - 6)^2 = (x + y - 4)^22

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2[(x - 10)^2 + (y - 6)^2] = (x + y - 4)^2
Agora, vamos expandir os termos:
2[(x^2 - 20x + 100) + (y^2 - 12y + 36)] = x^2 + 2xy + y^2 - 8x - 8y + 16
Simplificando:
2x^2 - 40x + 200 + 2y^2 - 24y + 72 = x^2 + 2xy + y^2 - 8x - 8y + 16

Passo 7

Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
2x^2 - 40x + 200 + 2y^2 - 24y + 72 - x^2 - 2xy - y^2 + 8x + 8y - 16 = 0
Simplificando os termos semelhantes:
x^2 - 32x + y^2 - 16y + 256 - 2xy = 0

Passo 8

Organizamos a equação para deixar os termos em ordem padrão:
x^2 - 2xy + y^2 - 32x - 16y + 256 = 0
Essa é a equação cartesiana da parábola P.

Resposta

A equação cartesiana da parábola é:
x^2 - 2xy + y^2 - 32x - 16y + 256 = 0

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