Seja
uma parábola de diretriz
e foco
(a) Determine a equação cartesiana dessa parábola.
(a) Determine a equação cartesiana dessa parábola.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma parábola
que possui uma diretriz dada pela equação
e um foco em
. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação cartesiana dessa parábola. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a definição de parábola como o conjunto de pontos equidistantes ao foco e à diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância de um ponto qualquer
à diretriz
pode ser calculada usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta:
Onde
,
e
são os coeficientes da equação da reta. No nosso caso,
,
e
, então a distância fica:
Passo 3
Agora, a distância do ponto
ao foco
é dada pela distância euclidiana:
Passo 4
Como a parábola é o conjunto de pontos onde essas duas distâncias são iguais, temos a equação:
Passo 5
Vamos eliminar a raiz quadrada para simplificar. Elevamos ambos os lados ao quadrado:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Agora, vamos expandir os termos:
Simplificando:
Passo 7
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 8
Organizamos a equação para deixar os termos em ordem padrão:
Essa é a equação cartesiana da parábola
.
Resposta
A equação cartesiana da parábola é: