Considere a barra de aço ABC de seções transversais circulares AC ( 60 mm de diâmetro) e CD ( 30 mm de diâmetro). Calcule (a) o valor da carga P aplicada em
de modo que o ponto D não se mova, (b) o correspondente deslocamento do ponto B . Dados:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra de aço dividida em duas partes com diâmetros diferentes: AC tem 60 mm de diâmetro e CD tem 30 mm. A tarefa é calcular:
(a) A carga
que deve ser aplicada em
para que o ponto
não se mova.
(b) O deslocamento correspondente do ponto .
(b) O deslocamento correspondente do ponto
Vamos usar conceitos de Mecânica dos Materiais, especificamente Deformação em Barras, e precisaremos aplicar fórmulas de deformação axial. Também vamos usar a fórmula do módulo de elasticidade
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos que o ponto
não se mova. Isso significa que a deformação (alongamento ou compressão) na parte CD da barra deve ser zero. Para garantir isso, a deformação na parte AC também deve ser zero, já que as duas partes estão conectadas.
A fórmula da deformação axial é:
Onde:
-
é a deformação, -
é o deslocamento, -
é a carga aplicada, -
é o comprimento da barra, -
é a área da seção transversal, -
é o módulo de elasticidade.
Como queremos que
na parte CD, vamos relacionar as deformações das duas partes.
Passo 3
Vamos calcular as áreas das seções transversais AC e CD.
A área de uma seção circular é dada por:
Para AC (diâmetro
mm):
Para CD (diâmetro
mm):
Passo 4
Como a barra AC e CD estão conectadas, a tensão na barra AC (
) deve ser igual à tensão na barra CD (
) para que não haja deformação na parte CD.
A tensão é dada por:
Então:
Mas isso só é possível se
, o que não é o caso. Então, precisamos ajustar a carga
para que a deformação na parte CD seja zero.
Passo 5
Vamos usar a condição de que a deformação na parte CD é zero. Isso significa que toda a deformação vem da parte AC.
A deformação na parte AC:
Como a deformação na parte CD é zero:
Para que
, a carga
na parte CD deve ser tal que:
Isso indica que a carga aplicada deve ser distribuída de forma que não haja carga na parte CD, ou seja, toda a carga está na parte AC.
Passo 6
Vamos considerar que para o ponto
não se mover, a carga
aplicada em
deve gerar uma reação na parte AC que balanceia a ausência de movimento na parte CD.
A força na parte AC:
Para que
não se mova, a deformação na parte AC deve ser compensada. Então, a carga
deve ser zero, o que não faz sentido físico. Provavelmente, precisamos reconsiderar a abordagem.
Passo 7
Vamos usar a condição de que a deformação na parte AC e na parte CD devem ser iguais para que
não se mova.
Substituindo as fórmulas de deformação:
Simplificando
e
:
Se
, então:
Mas novamente, isso não é verdade. Então, devemos assumir que a carga aplicada em
é distribuída entre AC e CD.
Passo 8
Vamos considerar a barra como dois elementos em série. Para que
não se mova, a deformação total deve ser zero:
Usando a fórmula da deformação:
Fatorando
:
Para que isso seja verdadeiro,
deve ser zero, o que novamente não resolve. Parece que falta informação sobre os comprimentos
e
. Sem eles, não podemos prosseguir.
Resposta
Não é possível resolver o exercício com as informações fornecidas. É necessário conhecer os comprimentos das partes AC e CD da barra para calcular a carga
e o deslocamento
.
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