Considere a barra de aço ABC de seções transversais circulares AC ( 60 mm de diâmetro) e CD ( 30 mm de diâmetro). Calcule (a) o valor da carga P aplicada em B de modo que o ponto D não se mova, (b) o correspondente deslocamento do ponto B . Dados: E apo =200 GPa

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra de aço dividida em duas partes com diâmetros diferentes: AC tem 60 mm de diâmetro e CD tem 30 mm. A tarefa é calcular:
(a) A carga que deve ser aplicada em para que o ponto não se mova.
(b) O deslocamento correspondente do ponto .
Vamos usar conceitos de Mecânica dos Materiais, especificamente Deformação em Barras, e precisaremos aplicar fórmulas de deformação axial. Também vamos usar a fórmula do módulo de elasticidade .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos que o ponto varepsilon = de não se mova. Isso significa que a deformação (alongamento ou compressão) na parte CD da barra deve ser zero. Para garantir isso, a deformação na parte AC também deve ser zero, já que as duas partes estão conectadas.
A fórmula da deformação axial é:
Onde:
  • é a deformação,
  • é o deslocamento,
  • é a carga aplicada,
  • é o comprimento da barra,
  • é a área da seção transversal,
  • é o módulo de elasticidade.
Como queremos que na parte CD, vamos relacionar as deformações das duas partes.

Passo 3

Vamos calcular as áreas das seções transversais AC e CD.
A área de uma seção circular é dada por:
A = pi cdot d^24
Para AC (diâmetro AAC = pi cdot (60)^24 = pi cdot 36004 = 900pi , mm^2 mm):
ACD = pi cdot (30)^24 = pi cdot 9004 = 225pi , mm^2
Para CD (diâmetro mm):

Passo 4

Como a barra AC e CD estão conectadas, a tensão na barra AC ( sigma = PA ) deve ser igual à tensão na barra CD ( PAAC = PACD ) para que não haja deformação na parte CD.
A tensão é dada por:
Então:
Mas isso só é possível se , o que não é o caso. Então, precisamos ajustar a carga para que a deformação na parte CD seja zero.

Passo 5

Vamos usar a condição de que a deformação na parte CD é zero. Isso significa que toda a deformação vem da parte AC.
A deformação na parte AC:
varepsilonAC = P cdot LACAAC cdot E
Como a deformação na parte CD é zero:
varepsilonCD = 0 = P cdot LCDACD cdot E
Para que P = 0 , a carga na parte CD deve ser tal que:
Isso indica que a carga aplicada deve ser distribuída de forma que não haja carga na parte CD, ou seja, toda a carga está na parte AC.

Passo 6

Vamos considerar que para o ponto PAC = P não se mover, a carga aplicada em deve gerar uma reação na parte AC que balanceia a ausência de movimento na parte CD.
A força na parte AC:
Para que não se mova, a deformação na parte AC deve ser compensada. Então, a carga deve ser zero, o que não faz sentido físico. Provavelmente, precisamos reconsiderar a abordagem.

Passo 7

Vamos usar a condição de que a deformação na parte AC e na parte CD devem ser iguais para que varepsilonAC = varepsilonCD não se mova.
P cdot LACAAC cdot E = P cdot LCDACD cdot E
Substituindo as fórmulas de deformação:
LACAAC = LCDACD
Simplificando 1AAC = 1ACD implies AAC = ACD e :
Se , então:
Mas novamente, isso não é verdade. Então, devemos assumir que a carga aplicada em é distribuída entre AC e CD.

Passo 8

Vamos considerar a barra como dois elementos em série. Para que de não se mova, a deformação total deve ser zero:
P cdot LACAAC cdot E + P cdot LCDACD cdot E = 0
Usando a fórmula da deformação:
P ( LACAAC cdot E + LCDACD cdot E ) = 0
Fatorando :
Para que isso seja verdadeiro, deve ser zero, o que novamente não resolve. Parece que falta informação sobre os comprimentos e . Sem eles, não podemos prosseguir.

Resposta

Não é possível resolver o exercício com as informações fornecidas. É necessário conhecer os comprimentos das partes AC e CD da barra para calcular a carga e o deslocamento .

Exercícios relacionados