O eixo composto abaixo possui 2 m de comprimento. Ele é formado por um núcleo de aço com raio de 30 mm e um tubo de latão com raio externo de 50 mm , colados na interface. Determine o torque máximo T que pode ser aplicado ao eixo, se as tensões cisalhantes admissíveis são 80 MPa para o núcleo de aço e 60 MPa para o tubo de latão. Dados: G aço =80 GPaç e G latîo =40 GPaî

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o torque máximo que pode ser aplicado em um eixo composto feito de aço e latão. O eixo tem 2 metros de comprimento, com um núcleo de aço de raio 30 mm e um tubo de latão com raio externo de 50 mm. As tensões cisalhantes admissíveis são 80 MPa para o aço e 60 MPa para o latão. Vamos usar conceitos de torsão em eixos compostos para resolver isso. Precisaremos entender como calcular a distribuição de tensões e o momento polar de inércia para materiais diferentes colados juntos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o torque afeta cada parte do eixo. A tensão cisalhante ( tau = T cdot rJ ) causada pelo torque ( ) em um ponto a uma distância do centro é dada pela fórmula:
Onde é o momento polar de inércia total do eixo composto.

Passo 3

Como temos dois materiais diferentes (aço e latão), cada um terá seu próprio momento polar de inércia. Para facilitar, vamos calcular o momento polar de inércia de cada parte separadamente e depois somar, considerando que estão colados e deformando-se igualmente sob o mesmo torque.
Para um cilindro sólido (núcleo de aço):
Jaço = pi raço^42 çç
Com ç.

Passo 4

Para um tubo (latão), o momento polar de inércia é:
Jlatão = pi (rlatão externo^4 - rlatão interno^4)2 ããã
Aqui, ã e ã (mesmo que o núcleo de aço).

Passo 5

Calculando Jaço = pi (30)^42 = pi times 810,0002 = 1,273,239.54, mm^4 ç:
ç

Passo 6

Calculando Jlatão = pi (50^4 - 30^4)2 = pi (6,250,000 - 810,000)2 = pi times 5,440,0002 = 8,544,000, mm^4 ã:
ã

Passo 7

Agora, somamos os momentos polares de inércia para obter o total:
Jtotal = Jaço + Jlatão = 1,273,239.54 + 8,544,000 = 9,817,239.54, mm^4 çã

Passo 8

Sabemos que a tensão cisalhante máxima para o aço é 80 MPa. Usando a fórmula da tensão cisalhante:
tauaço = T cdot raçoJtotal = 80 times 10^6, Pa çç
Rearranjando para encontrar T = tauaço cdot Jtotalraço :
raço = 30, mm = 0.03, m çç
Convertendo unidades:
Jtotal = 9,817,239.54, mm^4 = 9.81723954 times 10^-6, m^4 ç

Passo 9

Calculando T = 80 times 10^6 times 9.81723954 times 10^-60.03 = 785,379.1650.03 = 26,179,305.5, N·m :

Resposta

O torque máximo que pode ser aplicado ao eixo é aproximadamente 2.62 × 10⁷ N·m.

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