Considere a base
de
, em que
e
e seja
o operador linear tal que:
Determine uma fórmula para
e use a fórmula para obter
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma base
do
onde
e
. Existe também um operador linear
que transforma esses vetores da seguinte maneira:
Nosso objetivo é encontrar uma fórmula para
e usar essa fórmula para calcular
. Para isso, vamos usar os conceitos de operadores lineares e decomposição de vetores em uma base.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que qualquer vetor
no
pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base
. Ou seja:
onde
e
são escalares que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos substituir os valores de
e
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação, sabemos que
. Substituindo na primeira:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos expressar
usando a linearidade de
:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos agora realizar as multiplicações escalares:
Passo 6
Somando os dois resultados:
Passo 7
Agora, temos a fórmula para
:
Passo 8
Por fim, vamos usar essa fórmula para calcular
:
Resposta
A fórmula para
é
e
.