Considere a base B=v1, v2 de R^2, em que v1=(1,1) e v2=(1,0) e seja T: R^2 R^2 o operador linear tal que:
T(v1)=(1,-2) e T(v2)=(4,-1)
Determine uma fórmula para T(x, y) e use a fórmula para obter T(5,-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma base T(v1) = (1, -2) e T(v2) = (4, -1) do onde e . Existe também um operador linear que transforma esses vetores da seguinte maneira:
Nosso objetivo é encontrar uma fórmula para e usar essa fórmula para calcular . Para isso, vamos usar os conceitos de operadores lineares e decomposição de vetores em uma base.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que qualquer vetor (x, y) = a cdot v1 + b cdot v2 no pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base . Ou seja:
onde e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir os valores de (x, y) = a cdot (1, 1) + b cdot (1, 0) = (a + b, a) e a + b = x a = y :
y + b = x Rightarrow b = x - y
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação, sabemos que . Substituindo na primeira:

Passo 4

Agora que temos T(x, y) = T(a cdot v1 + b cdot v2) = a cdot T(v1) + b cdot T(v2) e T(x, y) = y cdot (1, -2) + (x - y) cdot (4, -1) , podemos expressar usando a linearidade de :
Substituindo e :

Passo 5

Vamos agora realizar as multiplicações escalares:
y cdot (1, -2) = (y, -2y)
(x - y) cdot (4, -1) = (4(x - y), -1(x - y)) = (4x - 4y, -x + y)

Passo 6

Somando os dois resultados:
T(x, y) = (y + 4x - 4y, -2y - x + y) = (4x - 3y, -x - y)

Passo 7

Agora, temos a fórmula para T(x, y) = (4x - 3y, -x - y) :

Passo 8

Por fim, vamos usar essa fórmula para calcular T(5, -3) = (4 cdot 5 - 3 cdot (-3), -5 - (-3)) = (20 + 9, -5 + 3) = (29, -2) :

Resposta

A fórmula para é e .

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