Vamos determinar o núcleo e a imagem de .
A transformação é um isomorfismo? Em caso afirmativo, calcule .
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos uma transformação linear definida por e . Nosso objetivo é determinar o núcleo e a imagem de . Além disso, queremos saber se é um isomorfismo (isto é, uma transformação linear que é bijetora) e, se for, calcular a sua inversa .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de transformações lineares:
Núcleo (): conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero.
Imagem (): conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de .
Isomorfismo: é um isomorfismo se for linearmente independente e se sua imagem for todo o espaço de chegada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transformação linear na forma de uma matriz. Como mapeia de para , a matriz associada a será uma matriz .
Sabemos que:
Podemos formar a matriz de colocando as imagens dos vetores da base padrão como colunas. Para isso, precisamos expressar e .
Sabemos que:
Resolvendo para :
Agora, usando :
Assim, a matriz de é:
Passo 3
Determinar o Núcleo de Ker(T) = x in R^2 mid Ax = 0 :
O núcleo de 3x1 + 0x2 = 0 52x1 -12x2 = 0 1x1 + 0x2 = 0 consiste em todos os vetores 3x1 = 0 52x1 - 12x2 = 0 x1 = 0 tais que 0 - 12x2 = 0 Rightarrow x2 = 0 .
Matematicamente:
Ker(T) = 0
Escrevendo isso em forma de sistema de equações:
Simplificando:
Da última equação, temos . Substituindo na segunda equação:
Portanto:
Passo 4
Determinar a Imagem de Im(T) = Col(A) = span 3 52 1 , 0 -12 0 :
A imagem de c1 3 52 1 + c2 0 -12 0 = 0 0 0 é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz 3c1 = 0 52c1 - 12c2 = 0 c1 = 0 .
Ou seja:
0 - 12c2 = 0 Rightarrow c2 = 0
Verificando se as colunas são linearmente independentes:
Calculamos se existe tais que:
Isso resulta no sistema:
Da primeira e terceira equações, temos . Substituindo na segunda:
Como a única solução é trivial, as colunas são linearmente independentes. Portanto, a imagem de é um subespaço de de dimensão 2.
Passo 5
Verificar se é um Isomorfismo:
Para ser um isomorfismo, ela deve ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
Injetora: Já vimos que , o que significa que é injetora.
Sobrejetora: A imagem de é um subespaço de de dimensão 2. Porém, para ser sobrejetora, a imagem deveria ser todo , que é de dimensão 3.
Como a imagem de não cobre todo , não é sobrejetora.
Portanto, não é um isomorfismo.
Resposta
Núcleo de :.
Imagem de : Um subespaço de de dimensão 2, gerado pelas colunas da matriz de .