- Considere a base S={v1 v2 v3} do R3, dado por v1=(1, 0, 0); v2= (0,1,0); v3=(0,0,1). Seja: , a transformação linear tal que: T(v1)=(-3,0,0) T(v2)=(0,2,0) T(v3)=(0,0,1) Assinale a alternativa que apresenta a lei que define a transformação T. Selecione uma alternativa: a) T(x,y,z)=(3x,y,-z) b) T(x,y,z)=(-x,2y,2z) c) T(x,y,z)=(-3x,-2y,z) d) T(x,y,z)=(-3x,2y,z) e) T(x,y,z)=(-5x,4y,-3z)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear $ T $ no espaço tridimensional $ \mathbb{R}^3 $ definida pela base padrão $ S = {v_1, v_2, v_3} $, onde:
A transformação $ T $ é dada por:
Queremos encontrar a lei que define $ T(x, y, z) $ e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é totalmente determinada por como ela atua nos vetores da base. Ou seja, se sabemos $ T(v_1) $, $ T(v_2) $ e $ T(v_3) $, podemos descobrir $ T(x, y, z) $ para qualquer vetor $ (x, y, z) $.
Passo 3
A transformação $ T $ aplicada a um vetor $ (x, y, z) $ pode ser escrita como uma combinação linear das imagens dos vetores da base:
Isso significa que multiplicamos cada componente pela transformação correspondente e somamos os resultados.
Passo 4
Vamos substituir os valores das transformações dadas:
Passo 5
Agora, somamos as componentes correspondentes:
Resposta
A lei que define a transformação $ T $ é:
Portanto, a alternativa correta é a d).