Considere as bases beta=u1, u2, u3 e beta^prime=v1, v2, v3 tais que
& v1=u1+2 u2+3 u3 & v2=u1+3 u2+4 u 3 & v3=3 u1+u2+7 u3
determine a matriz de mudança da base beta para a base beta^prime.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre mudança de base em um espaço vetorial. A gente tem duas bases, beta e beta', cada uma com três vetores. A ideia é achar a matriz que faz a transição de coordenadas da base beta para a base beta'. Para isso, vamos precisar entender como os vetores de beta' estão expressos em termos dos vetores de beta e usar esses coeficientes para montar a matriz de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores da base beta' em função dos vetores da base beta. Temos:
v1 &= u1 + 2u2 + 3u3 v2 &= u1 + 3u2 + 4u3 v3 &= 3u1 + u2 + 7u3
Esses coeficientes vão formar as colunas da matriz de mudança de base.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz de mudança de base Pbeta to beta'. Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas dos vetores de beta' na base beta. Então, a matriz fica assim:
Pbeta to beta' = 1 & 1 & 3 2 & 3 & 1 3 & 4 & 7

Resposta

A matriz de mudança da base beta para a base beta' é:
Pbeta to beta' = 1 & 1 & 3 2 & 3 & 1 3 & 4 & 7

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