Considere as transformações lineares e . Mostre que se a composta é injetiva, então é injetiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformações lineares, que são funções que passam de um espaço vetorial pra outro mantendo certas propriedades. Aqui, temos duas transformações: e . A gente precisa mostrar que se a composição dessas duas transformações, , é injetiva (ou seja, cada elemento de mapeia pra um elemento único em ), então também tem que ser injetiva. Vamos precisar entender o que significa uma função ser injetiva e como a composição de funções funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetiva. Uma função é injetiva se, sempre que , então necessariamente . Em outras palavras, nenhum dois elementos diferentes de apontam pro mesmo elemento em .
Passo 3
Agora, vamos pensar na composição . Essa composição significa que a gente primeiro aplica e depois aplica no resultado. Matematicamente, para qualquer vetor , temos:
Passo 4
Sabemos que é injetiva. Então, se , isso implica que .
Passo 5
Vamos assumir que pra dois vetores . Nosso objetivo é mostrar que , provando que é injetiva.
Passo 6
Se , então aplicando nos dois lados, temos:
Ou seja:
Passo 7
Como é injetiva, a igualdade acima implica que .
Passo 8
Então, mostramos que se , necessariamente . Isso é exatamente a definição de injetividade para .
Resposta
Portanto, se a composição é injetiva, então também é injetiva.