Sejam beta=(1,0),(0,1) e beta^prime=(1,2),(0,1) bases para R^2. Determine as matrizes de mudança da base beta para beta^prime e de beta^prime para beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá duas bases para o espaço R^2: a base padrão beta = (1,0), (0,1) e outra base beta' = (1,2), (0,1). Nosso objetivo aqui é encontrar as matrizes de mudança de base, ou seja, a matriz que nos ajuda a converter coordenadas de uma base para a outra e vice-versa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente mudanças de base e matrizes de transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem um vetor representado na base beta e quer reescrevê-lo na base beta'. A matriz de mudança de base facilita essa conversão. Vamos chamar essa matriz de Pbeta to beta'.

Passo 3

Para construir a matriz Pbeta to beta', precisamos expressar os vetores da base beta' em termos da base beta. Ou seja, vamos escrever cada vetor de beta' como uma combinação linear dos vetores de beta.
A base beta' é formada pelos vetores (1,2) e (0,1). Como beta é a base padrão, os vetores já estão nas coordenadas padrão, então podemos diretamente montar a matriz:
Pbeta to beta' = 1 & 0 2 & 1
Isso porque o primeiro vetor de beta' é (1,2) e o segundo é (0,1).

Passo 4

Agora, para encontrar a matriz de mudança de base na direção inversa, ou seja, de beta' para beta, precisamos calcular a inversa de Pbeta to beta'. Vamos chamar essa matriz de Pbeta' to beta.
Primeiro, vamos calcular o determinante de Pbeta to beta':
det(Pbeta to beta') = (1)(1) - (0)(2) = 1
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. A inversa de uma matriz 2 times 2 é dada por:
P^-1 = 1det(P) d & -b -c & a
Aplicando isso à nossa matriz:
Pbeta' to beta = Pbeta to beta'^-1 = 11 1 & 0 -2 & 1 = 1 & 0 -2 & 1

Resposta

A matriz de mudança de base de beta para beta' é:
Pbeta to beta' = 1 & 0 2 & 1
E a matriz de mudança de base de beta' para beta é:
Pbeta' to beta = 1 & 0 -2 & 1

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determine a matriz de mudança da base beta para a base beta^prime.