Sejam
e
bases para
. Determine as matrizes de mudança da base
para
e de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá duas bases para o espaço
: a base padrão
e outra base
. Nosso objetivo aqui é encontrar as matrizes de mudança de base, ou seja, a matriz que nos ajuda a converter coordenadas de uma base para a outra e vice-versa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente mudanças de base e matrizes de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem um vetor representado na base
e quer reescrevê-lo na base
. A matriz de mudança de base facilita essa conversão. Vamos chamar essa matriz de
.
Passo 3
Para construir a matriz
, precisamos expressar os vetores da base
em termos da base
. Ou seja, vamos escrever cada vetor de
como uma combinação linear dos vetores de
.
A base
é formada pelos vetores
e
. Como
é a base padrão, os vetores já estão nas coordenadas padrão, então podemos diretamente montar a matriz:
Isso porque o primeiro vetor de
é
e o segundo é
.
Passo 4
Agora, para encontrar a matriz de mudança de base na direção inversa, ou seja, de
para
, precisamos calcular a inversa de
. Vamos chamar essa matriz de
.
Primeiro, vamos calcular o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. A inversa de uma matriz
é dada por:
Aplicando isso à nossa matriz:
Resposta
A matriz de mudança de base de
para
é:
E a matriz de mudança de base de
para
é:
Exercícios relacionados
Dadas as matrizes
e
, calcule as matrizes
e
no sistema
.
Prove que o item a) não tem solução se
for substituído por
. Por que isto ocorre?
Calcule, se existir, cada produto abaixo:
(a) .
(a)
Considere as bases
e
tais que
determine a matriz de mudança da base
para a base
.