Considere as seguintes bases de R^3 :
alpha=(10,10,3),(3,-1,-1),(4,8,1) e beta=(1,1,0),(2,1,1),(-1,0,1)
Encontre [w]beta sabendo que [w]alpha=[r2 -2 3].

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas bases diferentes de R^3, chamadas alpha e beta. Sabemos as coordenadas de um vetor w na base alpha e queremos encontrar as coordenadas desse mesmo vetor na base beta. Para isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra usando matrizes e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor w no sistema de coordenadas padrão usando a base alpha. A base alpha é formada pelos vetores (10,10,3), (3,-1,-1) e (4,8,1). As coordenadas de w nessa base são dadas por:
[w]alpha = 2 -2 3
Isso significa que:
w = 2 cdot (10,10,3) + (-2) cdot (3,-1,-1) + 3 cdot (4,8,1)

Passo 3

Vamos calcular essa combinação linear para encontrar as coordenadas de w no sistema padrão:
  1. Multiplicando cada vetor da base alpha pelas suas respectivas coordenadas:
2 cdot (10,10,3) = (20, 20, 6)
-2 cdot (3,-1,-1) = (-6, 2, 2)
3 cdot (4,8,1) = (12, 24, 3)
  1. Agora, somamos esses resultados:
w = (20, 20, 6) + (-6, 2, 2) + (12, 24, 3) = (20-6+12, 20+2+24, 6+2+3) = (26, 46, 11)
Então, no sistema padrão, temos:
w = (26, 46, 11)

Passo 4

Agora, queremos encontrar as coordenadas de w na base beta, que é formada pelos vetores (1,1,0), (2,1,1) e (-1,0,1). Vamos chamar as coordenadas de w nessa base de [w]beta = c1 c2 c3.
Isso significa que:
w = c1 cdot (1,1,0) + c2 cdot (2,1,1) + c3 cdot (-1,0,1)
Substituindo o valor de w que encontramos:
(26, 46, 11) = c1 cdot (1,1,0) + c2 cdot (2,1,1) + c3 cdot (-1,0,1)

Passo 5

Vamos montar um sistema de equações para encontrar c1, c2 e c3:
  1. Pela componente x:
c1 + 2c2 - c3 = 26 (1)
  1. Pela componente y:
c1 + c2 = 46 (2)
  1. Pela componente z:
0c1 + c2 + c3 = 11 (3)
Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Primeiro, da equação (2):
c1 + c2 = 46 Rightarrow c1 = 46 - c2
Substituindo c1 na equação (1):
(46 - c2) + 2c2 - c3 = 26 46 + c2 - c3 = 26 c2 - c3 = -20 (4)
Da equação (3):
c2 + c3 = 11 (5)
Agora, somando as equações (4) e (5):
(c2 - c3) + (c2 + c3) = -20 + 11 2c2 = -9 c2 = -4,5
Substituindo c2 na equação (5):
-4,5 + c3 = 11 c3 = 15,5
E finalmente, substituindo c2 na expressão de c1:
c1 = 46 - (-4,5) = 50,5

Resposta

As coordenadas de w na base beta são:
[w]beta = 50.5 -4.5 15.5

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