Encontre as equações cartesianas dos planos que projetam a reta sobre os planos coordenados:
Esboce tais planos juntamente com a reta dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações cartesianas dos planos que são projeções da reta sobre os planos coordenados (xy, yz e xz). Estamos lidando com Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como projetar uma reta nos diferentes planos coordenados e usar as equações dadas da reta .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta . Ela é definida pela interseção de dois planos:
Para achar a equação paramétrica da reta , precisamos resolver esse sistema de equações.
Passo 3
Vamos resolver o sistema para expressar duas variáveis em função da terceira. Vamos, por exemplo, resolver para e em função de .
Da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora, substituímos de volta na expressão de :
Então, podemos escrever a equação paramétrica da reta em termos de :
Passo 4
Agora, vamos projetar essa reta nos diferentes planos coordenados.
Projeção no plano xy:
Para projetar no plano xy, ignoramos a coordenada z = 0 . Então, a projeção será:
x = 75 - 35(0) = 75 y = 45(0) - 15 = -15
Usando as equações paramétricas, substituímos z = 0 :
x = 0
Isso nos dá um ponto fixo y = 45t - 15 z = t . Mas para formar o plano, consideramos todas as réguas y = 45z - 15 , então a projeção no plano xy é uma linha paralela à reta y = 45z - 15 mas no plano xy.
A equação do plano xy é simplesmente:
y = 0
Projeção no plano yz:
Para projetar no plano yz, ignoramos a coordenada x = 75 - 35t z = t . Usando as equações paramétricas:
t = z implies x = 75 - 35z
x = 75 - 35z
Podemos eliminar o parâmetro expressando :
Então, a equação da projeção no plano yz é:
Projeção no plano xz:
Para projetar no plano xz, ignoramos a coordenada . Usando as equações paramétricas:
Eliminando o parâmetro :
Então, a equação da projeção no plano xz é:
Resposta
As equações cartesianas dos planos que são projeções da reta nos planos coordenados são: