Encontre as equações cartesianas dos planos que projetam a reta L sobre os planos coordenados:
L:r 2 x-y+2 z-3=0 x+2 y-z-1=0
Esboce tais planos juntamente com a reta L dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações cartesianas dos planos que são projeções da reta sobre os planos coordenados (xy, yz e xz). Estamos lidando com Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como projetar uma reta nos diferentes planos coordenados e usar as equações dadas da reta .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta 2x - y + 2z - 3 = 0 x + 2y - z - 1 = 0 . Ela é definida pela interseção de dois planos:
Para achar a equação paramétrica da reta , precisamos resolver esse sistema de equações.

Passo 3

Vamos resolver o sistema para expressar duas variáveis em função da terceira. Vamos, por exemplo, resolver para x + 2y - z = 1 implies x = 1 - 2y + z e 2(1 - 2y + z) - y + 2z - 3 = 0 2 - 4y + 2z - y + 2z - 3 = 0 -5y + 4z - 1 = 0 5y = 4z - 1 implies y = 45z - 15 em função de x = 1 - 2(45z - 15) + z x = 1 - 85z + 25 + z x = 75 - 35z .
Da segunda equação:
x = 75 - 35t y = 45t - 15 z = t
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora, substituímos de volta na expressão de :
Então, podemos escrever a equação paramétrica da reta em termos de :

Passo 4

Agora, vamos projetar essa reta nos diferentes planos coordenados.
Projeção no plano xy:
Para projetar no plano xy, ignoramos a coordenada z = 0 . Então, a projeção será:
x = 75 - 35(0) = 75 y = 45(0) - 15 = -15
Usando as equações paramétricas, substituímos z = 0 :
x = 0
Isso nos dá um ponto fixo y = 45t - 15 z = t . Mas para formar o plano, consideramos todas as réguas y = 45z - 15 , então a projeção no plano xy é uma linha paralela à reta y = 45z - 15 mas no plano xy.
A equação do plano xy é simplesmente:
y = 0
Projeção no plano yz:
Para projetar no plano yz, ignoramos a coordenada x = 75 - 35t z = t . Usando as equações paramétricas:
t = z implies x = 75 - 35z
x = 75 - 35z
Podemos eliminar o parâmetro expressando :
Então, a equação da projeção no plano yz é:
Projeção no plano xz:
Para projetar no plano xz, ignoramos a coordenada . Usando as equações paramétricas:
Eliminando o parâmetro :
Então, a equação da projeção no plano xz é:

Resposta

As equações cartesianas dos planos que são projeções da reta nos planos coordenados são:
  • Projeção no plano xy:
  • Projeção no plano yz:
  • Projeção no plano xz:

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