Considere um bastão fino, uniforme, de massa M e comprimento L. Supondo que ele gira em torno de um eixo perpendicular, passando pelo seu centro de massa e que existe um torque externo tau=1 Nm, podemos dizer que a posição angular em função do tempo é (suponha theta0=0 rad e omega0=0 rad / s )
a) 6M L^2 t^2,
b) 12M L^2 t^2
c) M L^212 t^2
d) 12M L^2 t e) n.d.a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um bastão fino e uniforme, com massa M e comprimento L, girando em torno do seu centro de massa. Tem um torque externo de tau = 1 Nm agindo nele. Precisamos descobrir como a posição angular theta varia com o tempo t, sabendo que inicialmente o bastão está parado (ou seja, theta0=0 rad e omega0=0 rad/s). Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, como momento de inércia, torque e aceleração angular.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa calcular o momento de inércia ( I) do bastão em relação ao eixo de rotação. Para um bastão fino e uniforme girando em torno do seu centro, a fórmula do momento de inércia é:
I = 112 M L^2

Passo 3

Agora, vamos relacionar o torque ( tau) com a aceleração angular ( alpha). A fórmula que conecta esses dois é:
tau = I alpha
Queremos encontrar alpha, então rearranjamos a equação:
alpha = tauI = tau112 M L^2 = 12 tauM L^2

Passo 4

Sabendo que a aceleração angular alpha é constante, podemos integrar para encontrar a velocidade angular ( omega):
omega(t) = omega0 + alpha t = 0 + 12 tauM L^2 t = 12 tauM L^2 t

Passo 5

Agora, integramos novamente para encontrar a posição angular ( theta):
theta(t) = theta0 + omega0 t + 12 alpha t^2 = 0 + 0 + 12 cdot 12 tauM L^2 t^2 = 6 tauM L^2 t^2
Como tau = 1 Nm, simplificando fica:
theta(t) = 6M L^2 t^2

Resposta

A posição angular em função do tempo é 6M L^2 t^2, ou seja, a alternativa a).

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