Uma partícula de massa m=5 kg segue uma trajetória no espaço tridimensional dada por r(t)=i+j+(t^2 / 2) k. Podemos dizer que o torque correspondente é:
a) 5(i-k),
b) 5(i+k)
c) 5(i+j)
d) 5(i-k)
e) 5 k

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde uma partícula de massa se move no espaço tridimensional seguindo a trajetória . O objetivo é encontrar o torque correspondente a essa partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do torque utilizando o produto vetorial entre o vetor posição e a força aplicada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade e a aceleração da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.
A posição é dada por:
r(t) = i + j + (t^22) k
Vamos calcular a velocidade:
v(t) = dr(t)dt = 0i + 0j + tk
Agora, a aceleração:
a(t) = dv(t)dt = 0i + 0j + k

Passo 3

Com a aceleração conhecida, podemos calcular a força que atua na partícula usando a Segunda Lei de Newton:
F = m cdot a
Substituindo os valores:
F = 5 , kg cdot a = 5 cdot k = 5k

Passo 4

Agora, para encontrar o torque ( tau = r times F ), usamos a definição de torque como o produto vetorial entre o vetor posição ( tau = (i + j + t^22k) times 5k ) e a força ( i times k = -j ):
j times k = i
Substituindo os vetores:
k times k = 0
Vamos calcular cada componente do produto vetorial:
tau = 5(-j) + 5i + 0 = 5i - 5j
Portanto:

Resposta

A alternativa correta é a letra c) .

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