Considere um bastão (também chamado de reta finita de carga) de diâmetro desprezível, de comprimento L, uniformemente carregado com uma densidade linear de cargas lambda.
a) calcular o campo elétrico (vetor intensidade de campo) E em um ponto P situado sobre a mediatriz ao bastão, a uma distancia y do centro do mesmo. Considere como origem das coordenadas o ponto onde a mediatriz corta o bastão (meio dele). Tome um elemento infinitesimal de comprimento do bastão dx, em um ponto qualquer do mesmo, ele contem uma carga dq, que gera no ponto P um campo também infinitesimal dE (lembre que é um vetor). Analise quais componentes de dE contribuirão para o vetor E. Integra ao longo do bastão só essa componente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bastão de comprimento e densidade linear de carga , ou seja, a carga está espalhada de maneira uniforme ao longo do bastão. Queremos calcular o campo elétrico em um ponto que está a uma distância do centro do bastão, sobre a mediatriz (a linha perpendicular que corta o bastão ao meio). Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb e o conceito de integração para somar as contribuições de cada pequeno elemento de carga do bastão.

Passo 2

Vamos dividir o bastão em pequenos elementos de comprimento . Cada elemento tem uma carga infinitesimal .

Passo 3

O campo elétrico gerado por essa carga dE = 14pi varepsilon0 dqr^2 r no ponto será um campo infinitesimal . Pela Lei de Coulomb, sabemos que:
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a distância entre o elemento de carga e o ponto ,
  • é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

Vamos calcular a distância r = raizx^2 + y^2 usando o Teorema de Pitágoras. Se o elemento de carga está a uma posição em relação ao centro do bastão, então:

Passo 5

Agora, vamos decompor o vetor em suas componentes horizontal ( ) e vertical ( ). Devido à simetria do problema, as componentes horizontais dos campos criados por elementos simétricos em relação ao centro do bastão vão se cancelar. Portanto, apenas a componente vertical vai contribuir para o campo total.

Passo 6

A componente vertical do campo elétrico dEy = dE cdot yr = 14pi varepsilon0 lambda , dxx^2 + y^2 cdot yraizx^2 + y^2 = lambda y4pi varepsilon0 dx(x^2 + y^2)^3/2 gerado por é dada por:

Passo 7

Para encontrar o campo elétrico total Ey = lambda y4pi varepsilon0 integral-L/2^L/2 dx(x^2 + y^2)^3/2 no ponto , integramos ao longo de todo o bastão, ou seja, de até :

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de integração:
integral dx(x^2 + y^2)^3/2 = xy^2 raizx^2 + y^2 + C

Passo 9

Calculando os limites:
Ey = lambda y4pi varepsilon0 y^2 ( L/2raiz(L/2)^2 + y^2 - -L/2raiz(L/2)^2 + y^2 )
Simplificando:
Ey = lambda4pi varepsilon0 y ( Lraiz(L/2)^2 + y^2 )

Passo 10

Multiplicando os termos:
Ey = lambda L4pi varepsilon0 y raiz(L/2)^2 + y^2
Simplificando mais:
Ey = lambda L2pi varepsilon0 y raizL^2 + 4y^2

Resposta

O campo elétrico no ponto E = lambda L2pi varepsilon0 y raizL^2 + 4y^2 , j é dado por:

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