Considere um bastão (também chamado de reta finita de carga) de diâmetro desprezível, de comprimento L, uniformemente carregado com uma densidade linear de cargas
.
a) calcular o campo elétrico (vetor intensidade de campo)
em um ponto P situado sobre a mediatriz ao bastão, a uma distancia y do centro do mesmo. Considere como origem das coordenadas o ponto onde a mediatriz corta o bastão (meio dele). Tome um elemento infinitesimal de comprimento do bastão dx, em um ponto qualquer do mesmo, ele contem uma carga dq, que gera no ponto P um campo também infinitesimal dE (lembre que é um vetor). Analise quais componentes de dE contribuirão para o vetor E. Integra ao longo do bastão só essa componente.
a) calcular o campo elétrico (vetor intensidade de campo)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bastão de comprimento
e densidade linear de carga
, ou seja, a carga está espalhada de maneira uniforme ao longo do bastão. Queremos calcular o campo elétrico
em um ponto
que está a uma distância
do centro do bastão, sobre a mediatriz (a linha perpendicular que corta o bastão ao meio). Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb e o conceito de integração para somar as contribuições de cada pequeno elemento de carga do bastão.
Passo 2
Vamos dividir o bastão em pequenos elementos de comprimento
. Cada elemento tem uma carga infinitesimal
.
Passo 3
O campo elétrico gerado por essa carga
no ponto
será um campo infinitesimal
. Pela Lei de Coulomb, sabemos que:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é a distância entre o elemento de carga e o ponto , -
é o vetor unitário na direção de .
Passo 4
Vamos calcular a distância
usando o Teorema de Pitágoras. Se o elemento de carga está a uma posição
em relação ao centro do bastão, então:
Passo 5
Agora, vamos decompor o vetor
em suas componentes horizontal (
) e vertical (
). Devido à simetria do problema, as componentes horizontais dos campos criados por elementos simétricos em relação ao centro do bastão vão se cancelar. Portanto, apenas a componente vertical
vai contribuir para o campo total.
Passo 6
A componente vertical do campo elétrico
gerado por
é dada por:
Passo 7
Para encontrar o campo elétrico total
no ponto
, integramos
ao longo de todo o bastão, ou seja, de
até
:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de integração:
Passo 9
Calculando os limites:
Simplificando:
Passo 10
Multiplicando os termos:
Simplificando mais:
Resposta
O campo elétrico no ponto
é dado por: