Considere beta=v1, v2, v3 subset R^6 e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ] e S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se beta é LI, então S2 não tem solução.
II - Se beta é LD, então S2 pode ter solução única.
III - Se beta é LI, então S1 tem solução única.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um conjunto de vetores β = {v₁, v₂, v₃} que estão no espaço ℝ⁶. Temos dois sistemas lineares representados pelas matrizes aumentadas S₁ e S₂:
  • S₁: [v₁ v₂ v₃ | 0]
  • S₂: [v₁ v₂ | v₃]
Precisamos analisar três afirmações sobre esses sistemas, relacionadas à independência linear (LI) e dependência linear (LD) dos vetores em β. Vamos usar conceitos de sistemas lineares, espaços vetoriais e combinações lineares para resolver.

Passo 2

Afirmação I: Se β é LI, então S₂ não tem solução.
Vamos entender o que significa β ser linearmente independente (LI). Isso quer dizer que nenhuma combinação linear não-trivial dos vetores v₁, v₂, v₃ resulta no vetor zero. Em termos de sistemas lineares, isso implica que as colunas da matriz formada por esses vetores são linearmente independentes.
Agora, olhando para o sistema S₂: [v₁ v₂ | v₃], queremos saber se há uma combinação dos vetores v₁ e v₂ que resulte em v₃. Se β é LI, então v₃ não pode ser escrito como uma combinação linear de v₁ e v₂. Portanto, o sistema S₂ não tem solução quando β é LI.
Conclusão: A afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: Se β é LD, então S₂ pode ter solução única.
Agora, se β é linearmente dependente (LD), significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Especificamente, podemos ter que v₃ é uma combinação de v₁ e v₂.
O sistema S₂: [v₁ v₂ | v₃] procura exatamente isso: encontrar coeficientes α e β tais que αv₁ + βv₂ = v₃. Se β é LD, existe pelo menos uma solução para esse sistema.
No entanto, a afirmação diz que pode ter solução única. Isso depende se a combinação é única ou não. Se os vetores v₁ e v₂ são LI entre si, então a solução será única. Mas se v₁ e v₂ também forem dependentes, poderão existir infinitas soluções.
Apesar dessa possibilidade, a afirmação “pode ter solução única” está correta, pois é possível que a combinação seja única dependendo da relação entre v₁ e v₂.
Conclusão: A afirmação II é verdadeira.

Passo 4

Afirmação III: Se β é LI, então S₁ tem solução única.
Vamos analisar o sistema S₁: [v₁ v₂ v₃ | 0]. Este sistema busca soluções da forma αv₁ + βv₂ + γv₃ = 0.
Se β é linearmente independente (LI), a única solução para esse sistema é a solução trivial: α = β = γ = 0. Isso significa que o sistema S₁ tem apenas uma solução, que é a solução trivial.
A afirmação diz que S₁ tem solução única, o que está correto.
Conclusão: A afirmação III é verdadeira.

Resposta

Todas as três afirmações I, II e III são verdadeiras.

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