Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
não tem solução.
II - Se
é LD, então
pode ter solução única.
III - Se
é LI, então
tem solução única.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
I - Se
II - Se
III - Se
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um conjunto de vetores β = {v₁, v₂, v₃} que estão no espaço ℝ⁶. Temos dois sistemas lineares representados pelas matrizes aumentadas S₁ e S₂:
- S₁: [v₁ v₂ v₃ | 0]
- S₂: [v₁ v₂ | v₃]
Precisamos analisar três afirmações sobre esses sistemas, relacionadas à independência linear (LI) e dependência linear (LD) dos vetores em β. Vamos usar conceitos de sistemas lineares, espaços vetoriais e combinações lineares para resolver.
Passo 2
Afirmação I: Se β é LI, então S₂ não tem solução.
Vamos entender o que significa β ser linearmente independente (LI). Isso quer dizer que nenhuma combinação linear não-trivial dos vetores v₁, v₂, v₃ resulta no vetor zero. Em termos de sistemas lineares, isso implica que as colunas da matriz formada por esses vetores são linearmente independentes.
Agora, olhando para o sistema S₂: [v₁ v₂ | v₃], queremos saber se há uma combinação dos vetores v₁ e v₂ que resulte em v₃. Se β é LI, então v₃ não pode ser escrito como uma combinação linear de v₁ e v₂. Portanto, o sistema S₂ não tem solução quando β é LI.
Conclusão: A afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: Se β é LD, então S₂ pode ter solução única.
Agora, se β é linearmente dependente (LD), significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Especificamente, podemos ter que v₃ é uma combinação de v₁ e v₂.
O sistema S₂: [v₁ v₂ | v₃] procura exatamente isso: encontrar coeficientes α e β tais que αv₁ + βv₂ = v₃. Se β é LD, existe pelo menos uma solução para esse sistema.
No entanto, a afirmação diz que pode ter solução única. Isso depende se a combinação é única ou não. Se os vetores v₁ e v₂ são LI entre si, então a solução será única. Mas se v₁ e v₂ também forem dependentes, poderão existir infinitas soluções.
Apesar dessa possibilidade, a afirmação “pode ter solução única” está correta, pois é possível que a combinação seja única dependendo da relação entre v₁ e v₂.
Conclusão: A afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Afirmação III: Se β é LI, então S₁ tem solução única.
Vamos analisar o sistema S₁: [v₁ v₂ v₃ | 0]. Este sistema busca soluções da forma αv₁ + βv₂ + γv₃ = 0.
Se β é linearmente independente (LI), a única solução para esse sistema é a solução trivial: α = β = γ = 0. Isso significa que o sistema S₁ tem apenas uma solução, que é a solução trivial.
A afirmação diz que S₁ tem solução única, o que está correto.
Conclusão: A afirmação III é verdadeira.
Resposta
Todas as três afirmações I, II e III são verdadeiras.