Considere cada uma das funções abaixo e calcule o limite para quando x -> infinito e quando x -> -infinito : f(x) = raiz(x^2 - 1) / (3 x - 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar o limite da função quando se aproxima de e de . Para isso, vamos precisar entender como funcionam limites no infinito e manipular expressões com raízes e polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para se aproximando de . Quando fica muito grande, tanto positivo quanto negativo, os termos de menor grau se tornam insignificantes. Então, na função , o dentro da raiz vira quase nada comparado a . Podemos simplificar a raiz para , que é igual a . Mas como estamos considerando indo para , .

Passo 3

Substituindo na função original, temos:
Agora, para simplificar essa expressão, vamos dividir o numerador e o denominador por :

Passo 4

Quando tende a , o termo tende a 0. Então a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos considerar se aproximando de . Da mesma forma que antes, na expressão , o é desprezível, e . Mas como é negativo, .

Passo 6

Substituindo na função original:
Dividindo numerador e denominador por :

Passo 7

Quando tende a , também tende a 0. Então a expressão fica:

Resposta

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