Dada a matriz A = [[5, 2], [2, 1]], calcule A + A^2 + A^3 + I2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisamos calcular . Isso envolve operações com matrizes, como multiplicação e soma, e também precisamos lembrar o que é a matriz identidade .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que significa multiplicar a matriz A por ela mesma. A multiplicação de matrizes é feita somando o produto das linhas da primeira matriz com as colunas da segunda matriz.
Vamos calcular cada elemento:
  • Primeiro elemento (1,1):
  • Primeiro elemento (1,2):
  • Segundo elemento (2,1):
  • Segundo elemento (2,2):
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é . Já temos , então vamos multiplicar essa matriz pela matriz original A.
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (1,1):
  • Primeiro elemento (1,2):
  • Segundo elemento (2,1):
  • Segundo elemento (2,2):
Então,

Passo 4

A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1s na diagonal principal e 0s nas demais posições. Para 2 * 2, fica assim:

Passo 5

Agora, vamos somar todas as matrizes que calculamos: .
Vamos somar elemento por elemento:
$ + + + = $
Vamos somar cada posição:
  • (1,1):
  • (1,2):
  • (2,1):
  • (2,2):

Resposta

A soma é igual a:

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