Considere o campo
e seja
a superfície limitada pelo paraboloide
e pelo plano
orientada com normal
apontando para fora.
Calcule
Escolha uma opção:
0
○
e seja
Calcule
Escolha uma opção:
0
○
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
dado por:
E temos a superfície
limitada pelo paraboloide
e pelo plano
, com a normal
apontando para fora. Nosso objetivo é calcular a integral de superfície
. Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para facilitar essa conta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
delimitado por
:
Então, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular a divergência de
e integrar isso sobre o volume
.
Passo 3
Vamos encontrar a divergência de
. A divergência
é dada por:
Ao calcular essas derivadas, percebemos que cada termo se anula, ou seja:
Passo 4
Com a divergência sendo zero, a integral de volume fica:
Isso significa que o fluxo total do campo
através da superfície fechada
é zero.
Resposta
0