Considere o campo
e seja
a superfície limitada pelo paraboloide
e pelo plano
orientada com normal
apontando para fora.
Calcule
Escolha uma opção:
0
○
e seja
Calcule
Escolha uma opção:
0
○
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
dado por:
E temos a superfície
limitada pelo paraboloide
e pelo plano
, com a normal
apontando para fora. Nosso objetivo é calcular a integral de superfície
. Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para facilitar essa conta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
delimitado por
:
Então, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular a divergência de
e integrar isso sobre o volume
.
Passo 3
Vamos encontrar a divergência de
. A divergência
é dada por:
Ao calcular essas derivadas, percebemos que cada termo se anula, ou seja:
Passo 4
Com a divergência sendo zero, a integral de volume fica:
Isso significa que o fluxo total do campo
através da superfície fechada
é zero.
Resposta
0
Exercícios relacionados
Utilize a transformação dada para calcular a integral.
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas
e
e pelas hiperboles
e
Utilize a transformação dada para calcular a integral.
, onde
é a região triangular de vértices
Considere o campo vetorial
e seja a curva de parametrização
.
Calcule .
Sugestão. Use o Teorema de Stokes.
Escolha uma opção:
(
0
.
e seja
Calcule
Sugestão. Use o Teorema de Stokes.
Escolha uma opção:
(
0
.
Considere o campo vetorial
e seja a porção do paraboloide
no semiespaço - yy $$ ge 0 e abaixo do plano
com normal
tal que
Calcule
.
Escolha uma opção:
○
○
0
e seja
Escolha uma opção:
○
○
0