Considere o campo
F(x, y, z)=,2 x(x^2+y^2+z^2)^32 i+2 y(x^2+y^2+z^2)^32 j+2 z(x^2+y^2+z^2)^32 k
e seja S a superfície limitada pelo paraboloide z=x^2+y^2-5 e pelo plano z+x=3 orientada com normal n apontando para fora.
Calcule integral duplaS F cdot n d S
Escolha uma opção:
0
8 pi
6 pi
10 pi
3 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial F(x, y, z) = 2x(x^2+y^2+z^2)^32 i + 2y(x^2+y^2+z^2)^32 j + 2z(x^2+y^2+z^2)^32 k dado por:
E temos a superfície limitada pelo paraboloide e pelo plano , com a normal apontando para fora. Nosso objetivo é calcular a integral de superfície . Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para facilitar essa conta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de fluxo de um campo vetorial integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume delimitado por :
Então, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular a divergência de e integrar isso sobre o volume .

Passo 3

Vamos encontrar a divergência de nabla cdot F = partialpartial x(2x(x^2+y^2+z^2)^32) + partialpartial y(2y(x^2+y^2+z^2)^32) + partialpartial z(2z(x^2+y^2+z^2)^32) . A divergência nabla cdot F = 0 é dada por:
Ao calcular essas derivadas, percebemos que cada termo se anula, ou seja:

Passo 4

Com a divergência sendo zero, a integral de volume fica:
integral triplaV nabla cdot F , dV = integral triplaV 0 , dV = 0
Isso significa que o fluxo total do campo através da superfície fechada é zero.

Resposta

0

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