Considere o campo vetorial
e seja
a porção do paraboloide
no semiespaço - yy $$ ge 0 e abaixo do plano
com normal
tal que
Calcule
.
Escolha uma opção:
○
○
0
e seja
Escolha uma opção:
○
○
0
Passo 1
Vamos entender qual é o problema que temos aqui. Precisamos calcular a integral de superfície do campo vetorial
sobre uma porção específica do paraboloide
. O conteúdo envolvido é de Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular a divergência do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Onde:
Calculando cada derivada parcial:
Somando todas:
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície à integral de volume:
Onde
é o volume delimitado pela superfície
.
Passo 4
Vamos parametrizar o volume
. Como a superfície
é parte do paraboloide
no semiespaço
e abaixo do plano
, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.
Em coordenadas cilíndricas:
O limite para
é de
a
(já que
implica
), e para
é de
a
(semiespaço
).
Passo 5
Expressamos a divergência em coordenadas cilíndricas:
A integral de volume fica:
Aqui,
em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Calculamos a integral interna em
:
Substituindo:
Integrando em
:
Agora, substituímos:
Passo 7
Contudo, percebemos que utilizamos o Teorema da Divergência para um volume que inclui apenas a parte do paraboloide no semiespaço
. Como a integral de superfície originalmente pede a orientação da normal
tal que
, devemos considerar apenas metade desse volume.
Portanto, dividimos o resultado por 3: