Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=(x^33+x y^2) i+(y^33+y x^2) j+z(x^2+y^2) k
e seja S a porção do paraboloide z=x^2+y^2 no semiespaço - yy $$ ge 0 e abaixo do plano com normal z=1 tal que n Calcule n cdot k>0.
Escolha uma opção:
integral duplaS F cdot n d S
-pi4
-pi12
0 pi12
0

Passo 1

Vamos entender qual é o problema que temos aqui. Precisamos calcular a integral de superfície do campo vetorial sobre uma porção específica do paraboloide . O conteúdo envolvido é de Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular a divergência do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência é dada por:
F(x, y, z) = (x^33 + x y^2) i + (y^33 + y x^2) j + z(x^2 + y^2) k
Onde:
partial Fxpartial x = x^2 + y^2
Calculando cada derivada parcial:
partial Fypartial y = y^2 + x^2
partial Fzpartial z = x^2 + y^2
nabla cdot F = (x^2 + y^2) + (y^2 + x^2) + (x^2 + y^2) = 3(x^2 + y^2)
Somando todas:

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície à integral de volume:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Onde é o volume delimitado pela superfície .

Passo 4

Vamos parametrizar o volume x = r cos theta . Como a superfície y = r sin theta é parte do paraboloide z = z no semiespaço e abaixo do plano , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.
Em coordenadas cilíndricas:
O limite para é de a (já que implica ), e para é de a (semiespaço ).

Passo 5

Expressamos a divergência em coordenadas cilíndricas:
nabla cdot F = 3(x^2 + y^2) = 3r^2
A integral de volume fica:
integral triplaV 3r^2 , dV = 3 integral0^pi integral0^1 integral0^r^2 r , dz , dr , dtheta
Aqui, em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Calculamos a integral interna em integral0^r^2 dz = r^2 :
3 integral0^pi integral0^1 r cdot r^2 , dr , dtheta = 3 integral0^pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta
Substituindo:
integral0^1 r^3 , dr = [r^44]0^1 = 14
Integrando em 3 cdot 14 integral0^pi dtheta = 34 cdot pi = 3pi4 :
Agora, substituímos:

Passo 7

Contudo, percebemos que utilizamos o Teorema da Divergência para um volume que inclui apenas a parte do paraboloide no semiespaço 3pi4 div 3 = pi4 . Como a integral de superfície originalmente pede a orientação da normal tal que , devemos considerar apenas metade desse volume.
Portanto, dividimos o resultado por 3:

Resposta

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