Utilize a transformação dada para calcular a integral. , onde é a região triangular de vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para a gente calcular . A região é um triângulo com vértices em , e . A equação da transformação que a gente vai usar é e . Para resolver isso, vamos precisar usar a mudança de variáveis em integrais duplas, calcular o determinante da Jacobiana e ajustar os limites de integração conforme a nova transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação que está sendo usada: e . Isso significa que estamos mudando as coordenadas de para . Para usar essa mudança na integral, precisamos calcular a Jacobiana dessa transformação, que nos ajuda a converter a área em termos de e .
Passo 3
Vamos calcular a Jacobiana . A Jacobiana é o determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Então, temos:
[
J =
= (2)(2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3
]
Então, a Jacobiana vale 3.
Passo 4
Agora, precisamos identificar como a região R fica na nova coordenada (u, v). Os vértices do triângulo em (x, y) são (0,0), (2,1) e (1,2). Vamos converter cada um desses pontos para (u, v) usando as equações da transformação:
Para (0,0):
0 = 2u + v 0 = u + 2v
Resolvendo, obtemos u = 0 e v = 0.
Para (2,1):
2 = 2u + v 1 = u + 2v
Resolvendo, obtemos u = 13 e v = 23.
Para (1,2):
1 = 2u + v 2 = u + 2v
Resolvendo, obtemos u = 43 e v = -13.
Mas percebemos que v não pode ser negativo, então precisamos revisar. Parece que cometemos um erro na solução. Vamos refazer:
Para (1,2):
1 = 2u + v 2 = u + 2v
Multiplicando a primeira equação por 2: 2 = 4u + 2v. Subtraindo a segunda equação: 2 - 2 = (4u + 2v) - (u + 2v) Rightarrow 0 = 3u Rightarrow u = 0. Substituindo em 1 = 2(0) + v, temos v = 1.
Então, os vértices em (u, v) são (0,0), (13, 23) e (0,1).
Passo 5
Com os vértices em (u, v) definidos, podemos determinar os limites de integração. Observando os pontos, u varia de 0 a 13 e, para cada u, v varia de uma linha que vai de 0 até outra linha que depende de u.
A linha que conecta (0,0) a (13, 23) tem a equação v = 2u. A linha que conecta (0,0) a (0,1) é simplesmente v de 0 a 1, mas como u vai até 13, consideramos v de 2u a 1.
Passo 6
Agora, podemos montar a integral transformada. A integral original integral duplaR (x - 3y) , dA se transforma em:
integral duplaR' (2u + v - 3(u + 2v)) cdot |J| , du , dv
Simplificando a expressão dentro da integral:
2u + v - 3u - 6v = -u - 5v
Então, a integral fica:
integral0^13 integral2u^1 (-u - 5v) cdot 3 , dv , du
Passo 7
Vamos integrar em relação a v primeiro:
integral2u^1 (-u - 5v) cdot 3 , dv = 3 integral2u^1 (-u - 5v) , dv = 3 [ -u v - 52 v^2 ]2u^1