Utilize a transformação dada para calcular a integral. integral duplaR x-3 y d A, onde R é a região triangular de vértices (0,0),(2,1) e(1,2) ; x=2 u+v, y=u+2 v

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para a gente calcular integral duplaR (x - 3y) , dA. A região R é um triângulo com vértices em (0,0), (2,1) e (1,2). A equação da transformação que a gente vai usar é x = 2u + v e y = u + 2v. Para resolver isso, vamos precisar usar a mudança de variáveis em integrais duplas, calcular o determinante da Jacobiana e ajustar os limites de integração conforme a nova transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação que está sendo usada: x = 2u + v e y = u + 2v. Isso significa que estamos mudando as coordenadas de (x, y) para (u, v). Para usar essa mudança na integral, precisamos calcular a Jacobiana dessa transformação, que nos ajuda a converter a área dA em termos de du e dv.

Passo 3

Vamos calcular a Jacobiana J. A Jacobiana é o determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Então, temos:

[
J =
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 2 & 1 1 & 2 = (2)(2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3


= (2)(2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3
]
Então, a Jacobiana vale 3.

Passo 4

Agora, precisamos identificar como a região R fica na nova coordenada (u, v). Os vértices do triângulo em (x, y) são (0,0), (2,1) e (1,2). Vamos converter cada um desses pontos para (u, v) usando as equações da transformação:
Para (0,0):
0 = 2u + v 0 = u + 2v
Resolvendo, obtemos u = 0 e v = 0.
Para (2,1):
2 = 2u + v 1 = u + 2v
Resolvendo, obtemos u = 13 e v = 23.
Para (1,2):
1 = 2u + v 2 = u + 2v
Resolvendo, obtemos u = 43 e v = -13.
Mas percebemos que v não pode ser negativo, então precisamos revisar. Parece que cometemos um erro na solução. Vamos refazer:
Para (1,2):
1 = 2u + v 2 = u + 2v
Multiplicando a primeira equação por 2: 2 = 4u + 2v. Subtraindo a segunda equação: 2 - 2 = (4u + 2v) - (u + 2v) Rightarrow 0 = 3u Rightarrow u = 0. Substituindo em 1 = 2(0) + v, temos v = 1.
Então, os vértices em (u, v) são (0,0), (13, 23) e (0,1).

Passo 5

Com os vértices em (u, v) definidos, podemos determinar os limites de integração. Observando os pontos, u varia de 0 a 13 e, para cada u, v varia de uma linha que vai de 0 até outra linha que depende de u.
A linha que conecta (0,0) a (13, 23) tem a equação v = 2u. A linha que conecta (0,0) a (0,1) é simplesmente v de 0 a 1, mas como u vai até 13, consideramos v de 2u a 1.

Passo 6

Agora, podemos montar a integral transformada. A integral original integral duplaR (x - 3y) , dA se transforma em:
integral duplaR' (2u + v - 3(u + 2v)) cdot |J| , du , dv
Simplificando a expressão dentro da integral:
2u + v - 3u - 6v = -u - 5v
Então, a integral fica:
integral0^13 integral2u^1 (-u - 5v) cdot 3 , dv , du

Passo 7

Vamos integrar em relação a v primeiro:
integral2u^1 (-u - 5v) cdot 3 , dv = 3 integral2u^1 (-u - 5v) , dv = 3 [ -u v - 52 v^2 ]2u^1
Calculando os limites:
3 [ (-u cdot 1 - 52 cdot 1^2) - (-u cdot 2u - 52 cdot (2u)^2) ] = 3 [ (-u - 52) - (-2u^2 - 10u^2) ] = 3 [ -u - 52 + 12u^2 ]
Então, a integral se torna:
integral0^13 ( -3u - 152 + 36u^2 ) , du

Passo 8

Agora, integramos em relação a u:
integral0^13 ( -3u - 152 + 36u^2 ) , du = [ -32 u^2 - 152 u + 12u^3 ]0^13
Substituindo os limites:
- 32 ( 13 )^2 - 152 ( 13 ) + 12 ( 13 )^3 = -32 cdot 19 - 152 cdot 13 + 12 cdot 127 = -16 - 52 + 49
Convertendo para um denominador comum de 18:
- 318 - 4518 + 818 = -4018 = -209

Resposta

O valor da integral é -dfrac209.

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e seja S a superfície limitada pelo paraboloide z=x^2+y^2-5 e pelo plano z+x=3 orientada com normal n apontando para fora.
Calcule integral duplaS F cdot n d S
Escolha uma opção:
0
8 pi
6 pi
10 pi
3 pi