Utilize a transformação dada para calcular a integral. , onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas e e pelas hiperboles e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas , e pelas hiperboles e . Para facilitar, vamos usar a transformação dada:
Vamos precisar entender como essa mudança de variáveis transforma nossa região e alterar a integral de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . No primeiro quadrante, as retas e formam ângulos com o eixo , e as hiperboles e são curvas que se estendem nesse quadrante. Queremos encontrar uma forma de simplificar os limites dessa região usando a transformação dada.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a área diferencial . O Jacobiano é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial xpartial u = 1v, partial xpartial v = -uv^2
partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 1
Então,
J = | cc 1v & -uv^2 0 & 1 | = ( 1v times 1 ) - ( -uv^2 times 0 ) = 1v
Passo 4
Vamos encontrar os novos limites para u e v. Observando as equações das curvas que limitam R:
Para as retas:
y = xRightarrowv = uvRightarrowu = v^2
y = 3xRightarrowv = 3 cdot uvRightarrowu = v^23
Para as hiperboles:
xy = 1Rightarrowuv cdot v = u = 1
xy = 3Rightarrowuv cdot v = u = 3
Então, nossos novos limites para u são de 1 a 3, e para v, de raizu a raiz3u.
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral original usando a transformação e o Jacobiano:
integral duplaR x y , dA = integral duplaR' ( uv cdot v ) cdot 1v , du , dv = integral duplaR' uv cdot v cdot 1v , du , dv = integral duplaR' uv cdot vv , du , dv = integral duplaR' uv cdot 1 , du , dv = integral duplaR' uv , du , dv
Passo 6
Vamos calcular a integral com os limites encontrados:
integralu=1^3 integralv=raizu^raiz3u uv , dv , du
Primeiro, integramos em relação a v:
integralraizu^raiz3u uv , dv = u [ ln v ]raizu^raiz3u = u ( ln (raiz3u) - ln (raizu) ) = u ( 12 ln (3u) - 12 ln u ) = u cdot 12 ln 3 = u2 ln 3
Agora, integramos em relação a u:
integral1^3 u2 ln 3 , du = ln 32 integral1^3 u , du = ln 32 [ u^22 ]1^3 = ln 32 ( 92 - 12 ) = ln 32 cdot 4 = 2 ln 3