Utilize a transformação dada para calcular a integral. integral duplaR x y d A, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y=x e y=3 x e pelas hiperboles x y=1 e x y=3 ; x=uv, y=v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaR x y , dA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = x, y = 3x e pelas hiperboles xy = 1 e xy = 3. Para facilitar, vamos usar a transformação dada:
x = uv, y = v
Vamos precisar entender como essa mudança de variáveis transforma nossa região R e alterar a integral de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R. No primeiro quadrante, as retas y = x e y = 3x formam ângulos com o eixo x, e as hiperboles xy = 1 e xy = 3 são curvas que se estendem nesse quadrante. Queremos encontrar uma forma de simplificar os limites dessa região usando a transformação dada.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a área diferencial dA. O Jacobiano J é dado por:
J = | partial (x, y)partial (u, v) |
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial xpartial u = 1v, partial xpartial v = -uv^2
partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 1
Então,
J = | cc 1v & -uv^2 0 & 1 | = ( 1v times 1 ) - ( -uv^2 times 0 ) = 1v

Passo 4

Vamos encontrar os novos limites para u e v. Observando as equações das curvas que limitam R:
  1. Para as retas:
    • y = x Rightarrow v = uv Rightarrow u = v^2
    • y = 3x Rightarrow v = 3 cdot uv Rightarrow u = v^23
  2. Para as hiperboles:
    • xy = 1 Rightarrow uv cdot v = u = 1
    • xy = 3 Rightarrow uv cdot v = u = 3
Então, nossos novos limites para u são de 1 a 3, e para v, de raizu a raiz3u.

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral original usando a transformação e o Jacobiano:
integral duplaR x y , dA = integral duplaR' ( uv cdot v ) cdot 1v , du , dv = integral duplaR' uv cdot v cdot 1v , du , dv = integral duplaR' uv cdot vv , du , dv = integral duplaR' uv cdot 1 , du , dv = integral duplaR' uv , du , dv

Passo 6

Vamos calcular a integral com os limites encontrados:
integralu=1^3 integralv=raizu^raiz3u uv , dv , du
Primeiro, integramos em relação a v:
integralraizu^raiz3u uv , dv = u [ ln v ]raizu^raiz3u = u ( ln (raiz3u) - ln (raizu) ) = u ( 12 ln (3u) - 12 ln u ) = u cdot 12 ln 3 = u2 ln 3
Agora, integramos em relação a u:
integral1^3 u2 ln 3 , du = ln 32 integral1^3 u , du = ln 32 [ u^22 ]1^3 = ln 32 ( 92 - 12 ) = ln 32 cdot 4 = 2 ln 3

Resposta

A integral integral duplaR x y , dA vale 2 ln 3.

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Considere o campo
F(x, y, z)=,2 x(x^2+y^2+z^2)^32 i+2 y(x^2+y^2+z^2)^32 j+2 z(x^2+y^2+z^2)^32 k
e seja S a superfície limitada pelo paraboloide z=x^2+y^2-5 e pelo plano z+x=3 orientada com normal n apontando para fora.
Calcule integral duplaS F cdot n d S
Escolha uma opção:
0
8 pi
6 pi
10 pi
3 pi
Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=(e^-x^2-y+z^2) i+(e^y^2-z y^2) j+(e^z^3+y x^2) k
e seja gamma a curva de parametrização
gamma(t)=(cos t, 1+sin t, 2+2 sin t), t in[0,2 pi].
Calcule integralgamma F cdot d r.
Sugestão. Use o Teorema de Stokes.
Escolha uma opção:
( 8 pi
0
-7 pi
-4 pi
. 4 pi