Considere a curva
parametrizada por
, com
. Calcule
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha
, onde a curva
é parametrizada por
para
, e o campo vetorial é
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e integrais de linha. Precisamos identificar se
é conservativo para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Para isso, devemos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:
Onde
e
.
Calculando:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende somente de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos a segunda componente do gradiente:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.
Assim, a função potencial é:
Passo 5
Com a função potencial encontrada, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando
nos pontos finais da curva
:
Vamos calcular
e
:
Para
:
Logo,
.
Para
:
Logo,
.
Resposta
Substituindo na função potencial:
Portanto, a integral é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
(b) , onde
é a curva
, percorrida de
a
.
(b)
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
, ao mover uma partícula ao longo da trajetória
dada por
.
Considere o campo vetorial dado por
, onde
. Calcule
, onde
é a elipse
, percorrida no sentido anti-horário.
Considere um campo
definido em
tal que
em
. Suponha que
e
.
Calcule .
Calcule