Considere a curva parametrizada por , com . Calcule , onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha , onde a curva é parametrizada por para , e o campo vetorial é . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e integrais de linha. Precisamos identificar se é conservativo para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que . Para isso, devemos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:
Onde e .
Calculando:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que é conservativo, podemos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende somente de .

Passo 4

Para determinar , usamos a segunda componente do gradiente:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.
Assim, a função potencial é:

Passo 5

Com a função potencial encontrada, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando nos pontos finais da curva :
Vamos calcular e :
Para :
Logo, .
Para :
Logo, .

Resposta

Substituindo na função potencial:
Portanto, a integral é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
(b) , onde é a curva , percorrida de a .
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças , ao mover uma partícula ao longo da trajetória dada por .
Considere o campo vetorial dado por , onde . Calcule , onde é a elipse , percorrida no sentido anti-horário.
Considere um campo definido em tal que em . Suponha que e .
Calcule .