Considere a curva C parametrizada por r(t)=(sen pit, e^t-1), com 1 <= t <= 2. Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y)=(-y^2 sen x, 2 y cos x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha , onde a curva é parametrizada por para , e o campo vetorial é . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e integrais de linha. Precisamos identificar se é conservativo para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial partial Qpartial x = partial Ppartial y é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial partial Qpartial x = -2 y sin x tal que partial Ppartial y = -2 y sin x . Para isso, devemos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:
Onde e .
Calculando:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que partial phipartial x = P = -y^2 sin x é conservativo, podemos encontrar a função potencial phi(x, y) = integral -y^2 sin x , dx = y^2 cos x + h(y) . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende somente de .

Passo 4

Para determinar partial phipartial y = Q = 2 y cos x , usamos a segunda componente do gradiente:
partial phipartial y = 2 y cos x + h'(y)
Calculando a derivada de 2 y cos x + h'(y) = 2 y cos x em relação a phi(x, y) = y^2 cos x :
Igualando a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.
Assim, a função potencial é:

Passo 5

Com a função potencial encontrada, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando integralC F cdot d r = phi(r(2)) - phi(r(1)) nos pontos finais da curva x = sin pi1 = sin pi = 0 :
y = e^1-1 = e^0 = 1
Vamos calcular x = sin pi2 = 1 e y = e^2-1 = e^1 = e :
Para :
Logo, .
Para :
Logo, .

Resposta

Substituindo na função potencial:
phi(1, e) = e^2 cos(1)
phi(0, 1) = 1^2 cos(0) = 1
Portanto, a integral é:
integralC F cdot d r = e^2 cos(1) - 1

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