Considere o campo de escoamento dado pela função corrente
. O escoamento é irrotacional?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função corrente:
. A pergunta é: esse escoamento é irrotacional? Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre escoamentos irrotacionais e funções correntes. Para resolver, vamos precisar calcular as componentes de velocidade e verificar se a rotação (ou vorticidade) é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um escoamento bidimensional, as componentes de velocidade $ u $ e $ v $ podem ser encontradas a partir da função corrente $ \Psi $ usando as seguintes relações:
Então, vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando $ u $:
E calculando $ v $:
Passo 4
Agora, para verificar se o escoamento é irrotacional, precisamos calcular a rotação $ \omega $, que é dada por:
Vamos encontrar essas derivadas.
Passo 5
Calculando $ \frac{\partial v}{\partial x} $:
E calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
Passo 6
Substituindo na expressão da rotação:
Como a rotação é zero, isso significa que não há rotação no escoamento.
Resposta
Sim, o escoamento definido pela função corrente $ \Psi = 10xy + 17 $ é irrotacional.