Considere o campo de escoamento dado por em que
e
. Determine:
(a) o número de dimensões do escoamento,
(b) se ele é um possível escoamento incompressível e
© a aceleração de uma partícula fluida no ponto
(a) o número de dimensões do escoamento,
(b) se ele é um possível escoamento incompressível e
© a aceleração de uma partícula fluida no ponto
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um campo de escoamento caracterizado pelos parâmetros
,
e
. Precisamos determinar três coisas:
(a) O número de dimensões do escoamento,
(b) Se o escoamento é incompressível,
© A aceleração de uma partícula fluida no ponto .
(a) O número de dimensões do escoamento,
(b) Se o escoamento é incompressível,
© A aceleração de uma partícula fluida no ponto
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como campos de velocidade, divergência e aceleração em fluidos.
Passo 2
Parte (a): Número de dimensões do escoamento
Primeiro, vamos identificar em quantas direções o escoamento varia. Se o campo de velocidade depende de
,
e
, então o escoamento é tridimensional.
Considerando que
,
e
estão associados às direções
,
e
respectivamente, o escoamento depende das três coordenadas espaciais.
Passo 3
Parte (b): Verificar se o escoamento é incompressível
Um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for zero. A divergência é dada por:
Onde
,
e
são as componentes da velocidade nas direções
,
e
.
Assumindo que:
As derivadas são:
Então:
Substituindo os valores:
Como a divergência não é zero, o escoamento não é incompressível.
Passo 4
Parte ©: Cálculo da aceleração no ponto
A aceleração em um escoamento é dada por:
Calculando cada componente:
Para
:
Para
:
Para
:
No ponto
:
Então:
Portanto, a aceleração é:
Resposta
(a) O escoamento é tridimensional.
(b) Não, o escoamento não é incompressível.
© A aceleração da partícula fluida no ponto
é
.