Considere o campo de escoamento dado por em que a=3 m^-2 cdot s^-1, b=3 s^-1 e c=2 m^-1 cdot s^-1 1. Determine:
(a) o número de dimensões do escoamento,
(b) se ele é um possível escoamento incompressível e
© a aceleração de uma partícula fluida no ponto (x, y, z)=(3,2,1)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um campo de escoamento caracterizado pelos parâmetros , e . Precisamos determinar três coisas:
(a) O número de dimensões do escoamento,
(b) Se o escoamento é incompressível,
© A aceleração de uma partícula fluida no ponto .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como campos de velocidade, divergência e aceleração em fluidos.

Passo 2

Parte (a): Número de dimensões do escoamento
Primeiro, vamos identificar em quantas direções o escoamento varia. Se o campo de velocidade depende de , e , então o escoamento é tridimensional.
Considerando que , e estão associados às direções , e respectivamente, o escoamento depende das três coordenadas espaciais.

Passo 3

Parte (b): Verificar se o escoamento é incompressível
Um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for zero. A divergência é dada por:
nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z
Onde u = a x, v = b y, w = c z , partial upartial x = a, partial vpartial y = b, partial wpartial z = c e nabla cdot V = a + b + c são as componentes da velocidade nas direções 3 + 3 + 2 = 8 neq 0 , e .
Assumindo que:
As derivadas são:
Então:
Substituindo os valores:
Como a divergência não é zero, o escoamento não é incompressível.

Passo 4

Parte ©: Cálculo da aceleração no ponto a = ( u partial upartial x + v partial upartial y + w partial upartial z ) i + ( u partial vpartial x + v partial vpartial y + w partial vpartial z ) j + ( u partial wpartial x + v partial wpartial y + w partial wpartial z ) k
A aceleração em um escoamento é dada por:
ax = u partial upartial x + v partial upartial y + w partial upartial z = u cdot a + v cdot 0 + w cdot 0 = a cdot u
Calculando cada componente:
Para ay = u partial vpartial x + v partial vpartial y + w partial vpartial z = u cdot 0 + v cdot b + w cdot 0 = b cdot v :
az = u partial wpartial x + v partial wpartial y + w partial wpartial z = u cdot 0 + v cdot 0 + w cdot c = c cdot w
Para u = a cdot 3 = 3 cdot 3 = 9 , m/s :
v = b cdot 2 = 3 cdot 2 = 6 , m/s
Para w = c cdot 1 = 2 cdot 1 = 2 , m/s :
ax = 3 cdot 9 = 27 , m/s^2
No ponto ay = 3 cdot 6 = 18 , m/s^2 :
az = 2 cdot 2 = 4 , m/s^2
a = (27, , 18, , 4) , m/s^2
Então:
Portanto, a aceleração é:

Resposta

(a) O escoamento é tridimensional.
(b) Não, o escoamento não é incompressível.
© A aceleração da partícula fluida no ponto é .

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