Considere o campo de velocidade
no plano
, no qual
e as coordenadas são medidas em metros. É esse um possível campo de escoamento incompressível? Calcule a aceleração
de uma partícula fluida no ponto
.
de uma partícula fluida no ponto
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um campo de velocidade, que é basicamente como o fluido está se movendo no plano xy. A velocidade está dada por
, onde
e as coordenadas
e
estão em metros. Primeiro, precisamos verificar se esse campo representa um escoamento incompressível. Depois, vamos calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente e derivadas parciais.
Passo 2
Para verificar se o escoamento é incompressível, precisamos calcular a divergência do campo de velocidade
. Um escoamento é incompressível quando a divergência da velocidade é igual a zero. A divergência é uma medida de como o fluido está “espalhando” ou “convergindo” naquele ponto.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
:
Onde
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas para obter a divergência:
Como a divergência é zero, concluímos que o escoamento é incompressível.
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto
. A aceleração em um campo de velocidade é dada pela derivada material da velocidade, que pode ser escrita como:
Como o campo de velocidade não depende do tempo, o primeiro termo desaparece, e restamos com:
Passo 6
Vamos calcular cada componente da aceleração. Primeiro, expandimos o operador:
Calculando as derivadas parciais de
:
Passo 7
Agora, substituímos
e
e avaliaremos no ponto
:
Passo 8
Substituindo os valores na expressão da aceleração:
Resposta
A aceleração da partícula fluida no ponto
é
.
Exercícios relacionados
É dado um campo de velocidade incompressível e irrotacional e cuja componente
é dada por:
Deduza a componente
de velocidade;
Expanda
em coordenadas retangulares pela substituição direta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de uma partícula fluida.
É dado um campo de velocidade incompressível e irrotacional e cuja componente
é dada por:
Defina a condição de irrotacionalidade para um campo de escoamento;
Quais dos seguintes campos vetoriais podem ser considerados de escoamento incompressível:
a)
b)
c)
Note que uma vez que
.
a)
b)
c)
Note que