Considere o campo de velocidade V=A x y imath-12 A y^2 jmath no plano x y, no qual A=0,25[m^-1 s^-1] e as coordenadas são medidas em metros. É esse um possível campo de escoamento incompressível? Calcule a aceleração
de uma partícula fluida no ponto (x, y)=(2,1).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um campo de velocidade, que é basicamente como o fluido está se movendo no plano xy. A velocidade está dada por V = A x y imath - 12 A y^2 jmath, onde A = 0,25 , m^-1 s^-1 e as coordenadas x e y estão em metros. Primeiro, precisamos verificar se esse campo representa um escoamento incompressível. Depois, vamos calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (x, y) = (2, 1). Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente e derivadas parciais.

Passo 2

Para verificar se o escoamento é incompressível, precisamos calcular a divergência do campo de velocidade V. Um escoamento é incompressível quando a divergência da velocidade é igual a zero. A divergência é uma medida de como o fluido está “espalhando” ou “convergindo” naquele ponto.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de V:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y
Onde Vx = A x y e Vy = -12 A y^2.
Calculando as derivadas parciais:
partial Vxpartial x = A y
partial Vypartial y = - A y

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para obter a divergência:
nabla cdot V = A y + (- A y) = 0
Como a divergência é zero, concluímos que o escoamento é incompressível.

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto (x, y) = (2, 1). A aceleração em um campo de velocidade é dada pela derivada material da velocidade, que pode ser escrita como:
a = partial Vpartial t + (V cdot nabla) V
Como o campo de velocidade não depende do tempo, o primeiro termo desaparece, e restamos com:
a = (V cdot nabla) V

Passo 6

Vamos calcular cada componente da aceleração. Primeiro, expandimos o operador:
a = Vx partial Vpartial x + Vy partial Vpartial y
Calculando as derivadas parciais de V:
partial Vpartial x = A y imath + 0 jmath
partial Vpartial y = A x imath - A y jmath

Passo 7

Agora, substituímos Vx e Vy e avaliaremos no ponto (2, 1):
Vx = A cdot 2 cdot 1 = 0,25 cdot 2 cdot 1 = 0,5 , m/s
Vy = -12 A cdot 1^2 = -12 cdot 0,25 cdot 1 = -0,125 , m/s

Passo 8

Substituindo os valores na expressão da aceleração:
a = Vx ( A y imath ) + Vy ( A x imath - A y jmath )
a = 0,5 cdot (0,25 cdot 1) imath + (-0,125) cdot (0,25 cdot 2 imath - 0,25 cdot 1 jmath)
a = 0,125 imath + (-0,125) cdot (0,5 imath - 0,25 jmath)
a = 0,125 imath - 0,0625 imath + 0,03125 jmath
a = 0,0625 imath + 0,03125 jmath , m/s^2

Resposta

A aceleração da partícula fluida no ponto (2, 1) é a = 0,0625 imath + 0,03125 jmath , m/s^2.

Exercícios relacionados

É dado um campo de velocidade incompressível e irrotacional e cuja componente x é dada por:
u=k x y
Deduza a componente v de velocidade;
Expanda (V cdot nabla) V em coordenadas retangulares pela substituição direta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de uma partícula fluida.
É dado um campo de velocidade incompressível e irrotacional e cuja componente x é dada por:
u=k x y
Defina a condição de irrotacionalidade para um campo de escoamento;
Quais dos seguintes campos vetoriais podem ser considerados de escoamento incompressível:
a) V=x imath+y jmath-2 z k
b) V=x imath+2 y jmath+0 k
c) V=Kr^2 etheta
Note que etheta=-sen theta imath+cos theta jmath e er=cos theta imath+sen theta jmath uma vez que partial ethetapartial theta=-er.