É dado um campo de velocidade incompressível e irrotacional e cuja componente
é dada por:
Defina a condição de irrotacionalidade para um campo de escoamento;
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre um campo de velocidade que é incompressível e irrotacional. A componente
dessa velocidade é dada por
. A matéria envolvida aqui é a mecânica dos fluidos, especificamente sobre condições de incompressibilidade e irrotacionalidade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser irrotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo de velocidade irrotacional. Basicamente, isso quer dizer que não existe rotação ou vórtice no fluido em nenhum ponto. Matematicamente, a condição de irrotacionalidade é que o rotacional do campo de velocidade seja zero. O rotacional é representado por
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional do campo de velocidade dado. No caso bidimensional, o rotacional fica:
Aqui,
é a componente em
e
é a componente em
da velocidade.
Passo 4
Sabemos que
. Então, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Mas ainda não sabemos
, a componente em
. Como o fluido é incompressível, podemos usar a condição de incompressibilidade para encontrar
.
Passo 5
Para um fluido incompressível, a condição é
. Em duas dimensões, isso significa:
Vamos calcular
:
Então, temos:
Integrando em relação a
:
Como estamos trabalhando com um campo irrotacional e não há dependência de
no rotacional, podemos considerar
. Então,
Passo 6
Agora que temos
, vamos calcular
:
Agora, voltando ao rotacional:
Para o campo ser irrotacional, o rotacional precisa ser zero:
Resposta
A condição de irrotacionalidade para o campo de escoamento dado é que
.
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Considere o campo de velocidade
no plano
, no qual
e as coordenadas são medidas em metros. É esse um possível campo de escoamento incompressível? Calcule a aceleração
de uma partícula fluida no ponto .
de uma partícula fluida no ponto
É dado um campo de velocidade incompressível e irrotacional e cuja componente
é dada por:
Deduza a componente
de velocidade;
Quais dos seguintes campos vetoriais podem ser considerados de escoamento incompressível:
a)
b)
c)
Note que uma vez que
.
a)
b)
c)
Note que
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