É dado um campo de velocidade incompressível e irrotacional e cuja componente x é dada por:
u=k x y
Defina a condição de irrotacionalidade para um campo de escoamento;

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre um campo de velocidade que é incompressível e irrotacional. A componente x dessa velocidade é dada por u = kxy. A matéria envolvida aqui é a mecânica dos fluidos, especificamente sobre condições de incompressibilidade e irrotacionalidade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser irrotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo de velocidade irrotacional. Basicamente, isso quer dizer que não existe rotação ou vórtice no fluido em nenhum ponto. Matematicamente, a condição de irrotacionalidade é que o rotacional do campo de velocidade seja zero. O rotacional é representado por nabla times u.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do campo de velocidade dado. No caso bidimensional, o rotacional fica:
nabla times u = partial vpartial x - partial upartial y
Aqui, u é a componente em x e v é a componente em y da velocidade.

Passo 4

Sabemos que u = kxy. Então, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial upartial y = partial (kxy)partial y = kx
Mas ainda não sabemos v, a componente em y. Como o fluido é incompressível, podemos usar a condição de incompressibilidade para encontrar v.

Passo 5

Para um fluido incompressível, a condição é nabla cdot u = 0. Em duas dimensões, isso significa:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Vamos calcular partial upartial x:
partial upartial x = partial (kxy)partial x = ky
Então, temos:
ky + partial vpartial y = 0 Rightarrow partial vpartial y = -ky
Integrando em relação a y:
v = -k2 y^2 + C(x)
Como estamos trabalhando com um campo irrotacional e não há dependência de x no rotacional, podemos considerar C(x) = 0. Então,
v = -k2 y^2

Passo 6

Agora que temos v = -k2 y^2, vamos calcular partial vpartial x:
partial vpartial x = 0
Agora, voltando ao rotacional:
nabla times u = partial vpartial x - partial upartial y = 0 - kx = -kx
Para o campo ser irrotacional, o rotacional precisa ser zero:
-kx = 0 Rightarrow kx = 0

Resposta

A condição de irrotacionalidade para o campo de escoamento dado é que k x = 0.

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de uma partícula fluida no ponto (x, y)=(2,1).
É dado um campo de velocidade incompressível e irrotacional e cuja componente x é dada por:
u=k x y
Deduza a componente v de velocidade;
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