Expanda
em coordenadas retangulares pela substituição direta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de uma partícula fluida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expandir a expressão
em coordenadas retangulares. Isso faz parte do estudo da dinâmica de fluidos, especificamente sobre como calcular a aceleração convectiva de uma partícula no fluido. Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores e derivadas parciais em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o vetor velocidade
em coordenadas retangulares. Geralmente, ele é representado assim:
Aqui,
,
e
são as componentes da velocidade nas direções
,
e
, respectivamente, e
,
e
são os vetores unitários nessas direções.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do operador nabla (
), que em coordenadas retangulares é dado por:
Esse operador é usado para calcular derivadas espaciais, como gradientes, divergências e rotações.
Passo 4
A expressão que queremos expandir é
. Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre o vetor velocidade
e o operador
:
Isso basicamente combina as componentes de
com as derivadas parciais correspondentes.
Passo 5
Agora, aplicamos esse operador resultante a cada componente do vetor velocidade
. Isso significa que vamos calcular:
Vamos fazer isso componente por componente.
Passo 6
Calculando cada componente:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Resposta
Portanto, a aceleração convectiva de uma partícula fluida em coordenadas retangulares é dada por:
Exercícios relacionados
Pode o seguinte campo de velocidade ser incompressível? Demonstre.
Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível? (Resp. a, b, d)
(a)
(b)
© e
(d)
(a)
(b)
©
(d)
É dado um campo de velocidade incompressível e irrotacional e cuja componente
é dada por:
Deduza a componente
de velocidade;
Considere o campo de velocidade
no plano
, no qual
e as coordenadas são medidas em metros. É esse um possível campo de escoamento incompressível? Calcule a aceleração
de uma partícula fluida no ponto .
de uma partícula fluida no ponto