Quais dos seguintes campos vetoriais podem ser considerados de escoamento incompressível:
a) V=x imath+y jmath-2 z k
b) V=x imath+2 y jmath+0 k
c) V=Kr^2 etheta
Note que etheta=-sen theta imath+cos theta jmath e er=cos theta imath+sen theta jmath uma vez que partial ethetapartial theta=-er.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é descobrir quais desses campos vetoriais representam um escoamento incompressível. Isso quer dizer que o fluido não está sendo comprimido ou expandido nesse escoamento. Para isso, vamos usar o conceito de divergência, que basicamente mede se o campo está “saindo” ou “entrando” em cada ponto. Se a divergência for zero, o escoamento é incompressível. Vamos calcular a divergência de cada campo vetorial dado para ver quais têm essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular a divergência de um campo vetorial. Se temos um campo V = Vx imath + Vy jmath + Vz k, a divergência nabla cdot V é dada por:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
Esse cálculo nos dirá se o escoamento está incompressível (divergência igual a zero) ou não.

Passo 3

Vamos começar com a opção a):
V = x imath + y jmath - 2 z k
Aqui, Vx = x, Vy = y e Vz = -2z.
Calculando a divergência:
nabla cdot V = partial xpartial x + partial ypartial y + partial (-2z)partial z = 1 + 1 - 2 = 0
Então, a divergência é zero, o que significa que o escoamento é incompressível.

Passo 4

Agora, vamos para a opção b):
V = x imath + 2 y jmath + 0 k
Aqui, Vx = x, Vy = 2y e Vz = 0.
Calculando a divergência:
nabla cdot V = partial xpartial x + partial (2y)partial y + partial 0partial z = 1 + 2 + 0 = 3
A divergência é 3, que não é zero. Então, esse escoamento não é incompressível.

Passo 5

Por fim, vamos analisar a opção c):
V = Kr^2 etheta
Aqui, o campo está em coordenadas polares. A divergência em coordenadas polares para um campo V = Vr er + Vtheta etheta é dada por:
nabla cdot V = 1r partial (r Vr)partial r + 1r partial Vthetapartial theta
No nosso caso, Vr = 0 e Vtheta = Kr^2, então:
nabla cdot V = 1r cdot 0 + 1r partialpartial theta ( Kr^2 ) = 0
Como Vtheta não depende de theta, a derivada é zero, e a divergência também é zero. Portanto, esse escoamento é incompressível.

Resposta

Os campos vetoriais a) e c) são de escoamento incompressível.

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