Considere um campo de velocidades definido por
, onde
e
estão em metros. Determine a equação da linha de corrente que passa pelo ponto
. Qual o valor da magnitude da velocidade neste ponto? Faça um gráfico desta equação identificando o ponto. (Você pode usar recursos computacionais para traçar o gráfico, mas reproduza-o manualmente em sua solução manuscrita.) Encontre as equações da trajetória de uma partícula de fluido que em
passa pelo mesmo ponto (não é necessário explicitar o x nem graficar a trajetória)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidades definido por
, onde
e
estão em metros. Nosso objetivo é:
- Encontrar a equação da linha de corrente que passa pelo ponto
metros. - Calcular a magnitude da velocidade nesse ponto.
- Fazer um gráfico dessa equação identificando o ponto.
- Encontrar as equações da trajetória de uma partícula de fluido que passa por esse ponto em
segundos.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de linhas de corrente e trajetórias de partículas em fluxos de fluidos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma linha de corrente. Nas linhas de corrente, as partículas de fluido estão sempre seguindo a direção do campo de velocidades. Matemáticamente, isso significa que
, onde
e
são as componentes da velocidade nos eixos
e
, respectivamente.
Aqui,
, então
e
.
Passo 3
Vamos montar a equação diferencial para a linha de corrente:
Isso nos dá uma equação que relaciona
com
, permitindo-nos encontrar
em termos de
.
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial. Podemos reorganizar a equação para facilitar a integração:
Perceba que podemos separar as variáveis
e
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
Agora, resolvendo a integral do lado direito:
Substitua
, então
, ou seja,
.
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, juntando os resultados das integrais:
Podemos reescrever isso como:
Usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma constante.
Passo 7
Agora, vamos aplicar a condição de que a linha de corrente passa pelo ponto
metros. Substituindo
e
na equação:
Calculando
, então:
Passo 8
Com o valor de
, a equação da linha de corrente fica:
Se preferir, podemos isolar
:
Essa é a equação da linha de corrente que passa pelo ponto
metros.
Passo 9
Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade no ponto
. A magnitude da velocidade
é dada por:
Onde
e
.
Substituindo
e
:
Então,
Passo 10
Sobre o gráfico da linha de corrente, ele seria a representação da equação
, passando pelo ponto
. No gráfico, você marcaria esse ponto específico e desenharia a curva correspondente à equação encontrada.
Passo 11
Agora, vamos encontrar as equações da trajetória de uma partícula de fluido que passa pelo ponto
em
segundos. A trajetória considera a posição da partícula ao longo do tempo, então precisamos resolver as equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula.
Temos:
Vamos resolver essas equações com a condição inicial
e
.
Resposta
A equação da linha de corrente que passa pelo ponto
metros é
. A magnitude da velocidade nesse ponto é aproximadamente
.