Considere um campo de velocidades definido por V=(x^2+5) imath-6 x y jmath, onde x e y estão em metros. Determine a equação da linha de corrente que passa pelo ponto (x, y)=(3,3) m. Qual o valor da magnitude da velocidade neste ponto? Faça um gráfico desta equação identificando o ponto. (Você pode usar recursos computacionais para traçar o gráfico, mas reproduza-o manualmente em sua solução manuscrita.) Encontre as equações da trajetória de uma partícula de fluido que em t=0 s passa pelo mesmo ponto (não é necessário explicitar o x nem graficar a trajetória)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidades definido por V = (x^2 + 5) imath - 6xy jmath, onde x e y estão em metros. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar a equação da linha de corrente que passa pelo ponto (3, 3) metros.
  2. Calcular a magnitude da velocidade nesse ponto.
  3. Fazer um gráfico dessa equação identificando o ponto.
  4. Encontrar as equações da trajetória de uma partícula de fluido que passa por esse ponto em t = 0 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de linhas de corrente e trajetórias de partículas em fluxos de fluidos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma linha de corrente. Nas linhas de corrente, as partículas de fluido estão sempre seguindo a direção do campo de velocidades. Matemáticamente, isso significa que dydx = VyVx, onde Vx e Vy são as componentes da velocidade nos eixos x e y, respectivamente.
Aqui, V = (x^2 + 5) imath - 6xy jmath, então Vx = x^2 + 5 e Vy = -6xy.

Passo 3

Vamos montar a equação diferencial para a linha de corrente:
dydx = VyVx = -6xyx^2 + 5
Isso nos dá uma equação que relaciona dy com dx, permitindo-nos encontrar y em termos de x.

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial. Podemos reorganizar a equação para facilitar a integração:
dydx = -6xyx^2 + 5 implies dy = -6xyx^2 + 5 dx
Perceba que podemos separar as variáveis y e x:
dyy = -6xx^2 + 5 dx

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados:
integral 1y dy = integral -6xx^2 + 5 dx
A integral do lado esquerdo é:
ln|y| = (resu
Agora, resolvendo a integral do lado direito:
Substitua u = x^2 + 5, então du = 2x dx, ou seja, x dx = du2.
Então, a integral fica:
integral -6xx^2 + 5 dx = -6 integral xx^2 + 5 dx = -6 times 12 ln|x^2 + 5| + C = -3 ln|x^2 + 5| + C

Passo 6

Agora, juntando os resultados das integrais:
ln|y| = -3 ln|x^2 + 5| + C
Podemos reescrever isso como:
ln|y| + 3 ln|x^2 + 5| = C
Usando propriedades dos logaritmos:
ln(y cdot (x^2 + 5)^3) = C
Exponenciando ambos os lados:
y cdot (x^2 + 5)^3 = e^C = K
Onde K é uma constante.

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição de que a linha de corrente passa pelo ponto (3, 3) metros. Substituindo x = 3 e y = 3 na equação:
3 cdot (3^2 + 5)^3 = K implies 3 cdot (9 + 5)^3 = K implies 3 cdot 14^3 = K
Calculando 14^3 = 2744, então:
K = 3 times 2744 = 8232

Passo 8

Com o valor de K, a equação da linha de corrente fica:
y cdot (x^2 + 5)^3 = 8232
Se preferir, podemos isolar y:
y = 8232(x^2 + 5)^3
Essa é a equação da linha de corrente que passa pelo ponto (3, 3) metros.

Passo 9

Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade no ponto (3, 3). A magnitude da velocidade |V| é dada por:
|V| = raizVx^2 + Vy^2
Onde Vx = x^2 + 5 e Vy = -6xy.
Substituindo x = 3 e y = 3:
Vx = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14
Vy = -6 times 3 times 3 = -54
Então,
|V| = raiz14^2 + (-54)^2 = raiz196 + 2916 = raiz3112 approx 55.78 , m/s

Passo 10

Sobre o gráfico da linha de corrente, ele seria a representação da equação y = 8232(x^2 + 5)^3, passando pelo ponto (3, 3). No gráfico, você marcaria esse ponto específico e desenharia a curva correspondente à equação encontrada.

Passo 11

Agora, vamos encontrar as equações da trajetória de uma partícula de fluido que passa pelo ponto (3, 3) em t = 0 segundos. A trajetória considera a posição da partícula ao longo do tempo, então precisamos resolver as equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula.
Temos:
dxdt = Vx = x^2 + 5
dydt = Vy = -6xy
Vamos resolver essas equações com a condição inicial x(0) = 3 e y(0) = 3.

Resposta

A equação da linha de corrente que passa pelo ponto (3, 3) metros é y = 8232(x^2 + 5)^3. A magnitude da velocidade nesse ponto é aproximadamente 55,78 , m/s.

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