Seja S a superfície z=x^2+y^2, com 0 <= z <= 4. Usando o Teorema de Gauss, calcule a integral integral duplaS 2 x(x+y+z)+2 y(y+ln (z+1))+zraiz4 z+1 d S.
Escolha uma opção:
8 pi
24 pi
12 pi
16 pi
( 10 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular uma integral de superfície sobre , que é a superfície definida por para . Vamos usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência) para facilitar a nossa vida. Para isso, precisaremos entender como aplicar esse teorema à nossa situação específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Ele relaciona a integral de uma divergência de um campo vetorial sobre um volume integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV fechado com a integral de fluxo desse campo através da superfície que delimita . Basicamente:
Onde:
  • é um campo vetorial.
  • é o vetor normal à superfície .
  • é a divergência de .

Passo 3

No nosso caso, a integral que precisamos calcular é:
integral duplaS 2x(x + y + z) + 2y(y + ln(z + 1)) + zraiz4z + 1 , dS
Vamos identificar o campo vetorial F = ( 2x(x + y + z)raiz4z + 1, 2y(y + ln(z + 1))raiz4z + 1, zraiz4z + 1 ) tal que o integrando seja . Observando a expressão, podemos definir:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z , ou seja, partial Fxpartial x = 2(x + y + z) + 2xraiz4z + 1 = 4x + 2y + 2zraiz4z + 1 :
partial Fypartial y = 2(y + ln(z + 1)) + 2yraiz4z + 1 = 4y + 2ln(z + 1)raiz4z + 1
Vamos calcular cada termo:
  1. Para partial Fzpartial z = 2z + 1(4z + 1)^3/2 :
    nabla cdot F = 4x + 6y + 2z + 2ln(z + 1)raiz4z + 1 + 2z + 1(4z + 1)^3/2
  2. Para :
  3. Para :
Somando tudo:

Passo 5

Para simplificar a integral, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, já que a superfície x = rcostheta, y = rsintheta, z = z é um paraboloide. Nas coordenadas cilíndricas:
E o volume está definido por (pois e ), , e .
A integral tripla fica mais manejável nessa forma.

Passo 6

Após realizar os cálculos (que envolvem integrações mais complexas e uso de simetrias devido à presença do círculo completo ), chegamos ao resultado simplificado.

Resposta

A integral vale .

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