Seja
a superfície
, com
. Usando o Teorema de Gauss, calcule a integral
.
Escolha uma opção:
(
Escolha uma opção:
(
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular uma integral de superfície sobre
, que é a superfície definida por
para
. Vamos usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência) para facilitar a nossa vida. Para isso, precisaremos entender como aplicar esse teorema à nossa situação específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Ele relaciona a integral de uma divergência de um campo vetorial sobre um volume
fechado com a integral de fluxo desse campo através da superfície que delimita
. Basicamente:
Onde:
-
é um campo vetorial. -
é o vetor normal à superfície . -
é a divergência de .
Passo 3
No nosso caso, a integral que precisamos calcular é:
Vamos identificar o campo vetorial
tal que o integrando seja
. Observando a expressão, podemos definir:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a divergência de
, ou seja,
:
Vamos calcular cada termo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Somando tudo:
Passo 5
Para simplificar a integral, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, já que a superfície
é um paraboloide. Nas coordenadas cilíndricas:
E o volume
está definido por
(pois
e
),
, e
.
A integral tripla fica mais manejável nessa forma.
Passo 6
Após realizar os cálculos (que envolvem integrações mais complexas e uso de simetrias devido à presença do círculo completo
), chegamos ao resultado simplificado.
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
e seja a porção do paraboloide
no semiespaço - yy $$ ge 0 e abaixo do plano
com normal
tal que
Calcule
.
Escolha uma opção:
○
○
0
e seja
Escolha uma opção:
○
○
0
Considere o campo vetorial
e seja a curva de parametrização
.
Calcule .
Sugestão. Use o Teorema de Stokes.
Escolha uma opção:
(
0
.
e seja
Calcule
Sugestão. Use o Teorema de Stokes.
Escolha uma opção:
(
0
.
Complete a tabela de forma que ela descreva uma distribuição de probabilidade.
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
0,10 | 0,31 | 0,37 |
|
0,05 | 0,05 |
Calcule
, onde
.