Considere o campo vetorial
F(r)=rr^2, r=|r|, r=x i+y j+z k, r=r /|r|
Obtenha o fluxo de F(r) sobre a superfície da esfera de raio R centrada na origem;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido por
F(r) = rr^2,
onde é a distância do ponto até a origem, e é o vetor unitário na direção de . A questão nos pede para encontrar o fluxo desse campo vetorial através da superfície de uma esfera de raio centrada na origem.
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície. Precisaremos entender o que é fluxo, como calcular integrais de superfície e aplicar a simetria do problema para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo Phi = integral duplaS F cdot dS, é dado pela integral de superfície:
onde é o campo vetorial e é o vetor de área infinitesimal na superfície . O produto escalar representa a quantidade de campo que “atravessa” a superfície em cada ponto.

Passo 3

Como estamos lidando com uma esfera de raio dS = r , dS, centrada na origem, podemos aproveitar a simetria do problema. Em coordenadas esféricas, o vetor de área para uma esfera é dado por:
onde é o vetor unitário radial e é o elemento de área na esfera.

Passo 4

Agora, substituímos o vetor de área na expressão do fluxo:
Phi = integral duplaS F cdot r , dS
Sabemos que F(r) = rR^2 . Na superfície da esfera, , então:

Passo 5

Substituindo Phi = integral duplaS ( rR^2 ) cdot r , dS na integral do fluxo:
Phi = 1R^2 integral duplaS dS
Como , a expressão simplifica para:

Passo 6

A integral Área = 4pi R^2 representa a área total da superfície da esfera. Sabemos que a área de uma esfera de raio é:
Á

Passo 7

Substituindo a área da esfera na expressão do fluxo:
Phi = 1R^2 times 4pi R^2 = 4pi

Resposta

O fluxo de sobre a superfície da esfera de raio centrada na origem é .

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