Considere o campo vetorial
Obtenha o fluxo de
sobre a superfície da esfera de raio
centrada na origem;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido por
onde
é a distância do ponto
até a origem, e
é o vetor unitário na direção de
. A questão nos pede para encontrar o fluxo desse campo vetorial através da superfície de uma esfera de raio
centrada na origem.
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície. Precisaremos entender o que é fluxo, como calcular integrais de superfície e aplicar a simetria do problema para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo
é dado pela integral de superfície:
onde
é o campo vetorial e
é o vetor de área infinitesimal na superfície
. O produto escalar
representa a quantidade de campo que “atravessa” a superfície em cada ponto.
Passo 3
Como estamos lidando com uma esfera de raio
centrada na origem, podemos aproveitar a simetria do problema. Em coordenadas esféricas, o vetor de área
para uma esfera é dado por:
onde
é o vetor unitário radial e
é o elemento de área na esfera.
Passo 4
Agora, substituímos o vetor de área na expressão do fluxo:
Sabemos que
. Na superfície da esfera,
, então:
Passo 5
Substituindo
na integral do fluxo:
Como
, a expressão simplifica para:
Passo 6
A integral
representa a área total da superfície da esfera. Sabemos que a área de uma esfera de raio
é:
Passo 7
Substituindo a área da esfera na expressão do fluxo:
Resposta
O fluxo de
sobre a superfície da esfera de raio
centrada na origem é
.
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Sejam A e
campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades:
Suponha que você e colegas de turma estejam discutindo o projeto de uma montanha-russa. Um dos colegas diz que cada topo de pista deve ser mais baixo do que o anterior. A outra colega diz que isso não faz sentido, pois desde que o primeiro deles seja o mais alto de todos, não importa a que altura estarão os demais. O que você diz?
Considere o campo vetorial
Decorre de (b) que
pode ser escrito com o gradiente de um campo escalar
. Determine
.
Considere o campo vetorial
em coordenadas cilíndricas
em que
é uma constante não nula. Determine: A circulação de
ao longo de um círculo de raio
centrado num ponto
à distância
da origem
. Sugestão: use o teorema de Stokes;