Considere o campo vetorial
Decorre de (b) que pode ser escrito com o gradiente de um campo escalar . Determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um campo escalar tal que o gradiente dele seja igual ao campo vetorial dado:
Aqui, estamos trabalhando com o conceito de potencial escalar e utilizando operações de cálculo vetorial, especificamente o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o gradiente de um campo escalar. O gradiente de é um vetor que aponta na direção de maior variação de e tem magnitude igual à taxa de variação nessa direção. Matematicamente:
Nosso objetivo é encontrar tal que, ao calcular o gradiente dela, obtenhamos o campo dado.

Passo 3

Vamos considerar a forma do campo . Sabemos que:
e
Então, podemos reescrever como:
Agora, precisamos encontrar uma função escalar cuja derivada parcial em cada direção ( , , ) nos dê os componentes de .

Passo 4

Vamos assumir que depende apenas da distância , ou seja, . Então, o gradiente em coordenadas esféricas simplifica para:
Comparando com , temos:
Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Resposta

O campo escalar é dado por
onde é uma constante.

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Considere o campo vetorial
Obtenha o fluxo de sobre a superfície da esfera de raio centrada na origem;
Sejam A e campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades:
Considere o campo vetorial em coordenadas cilíndricas
em que é uma constante não nula. Determine: A circulação de ao longo de um círculo de raio centrado num ponto à distância da origem . Sugestão: use o teorema de Stokes;
Um solenoide tem um comprimento , um diâmetro interno , e conduz uma corrente . É formado por cinco camadas de espiras cerradas, cada uma com 850 espiras. Qual é o valor de B no centro do solenoide?