Considere o campo vetorial
F(r)=rr^2, r=|r|, r=x i+y j+z k, r=r /|r|
Decorre de (b) que F(r) pode ser escrito com o gradiente de um campo escalar Phi(r). Determine Phi(r).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um campo escalar F(r) = rr^2 tal que o gradiente dele seja igual ao campo vetorial dado:
Aqui, estamos trabalhando com o conceito de potencial escalar e utilizando operações de cálculo vetorial, especificamente o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o gradiente de um campo escalar. O gradiente de F(r) = nabla Phi(r) é um vetor que aponta na direção de maior variação de e tem magnitude igual à taxa de variação nessa direção. Matematicamente:
Nosso objetivo é encontrar tal que, ao calcular o gradiente dela, obtenhamos o campo dado.

Passo 3

Vamos considerar a forma do campo r = rr . Sabemos que:
r = |r|
e
F(r) = rr^3
Então, podemos reescrever como:
Agora, precisamos encontrar uma função escalar cuja derivada parcial em cada direção ( , , ) nos dê os componentes de .

Passo 4

Vamos assumir que nabla Phi(r) = dPhidr r depende apenas da distância dPhidr = 1r^2 , ou seja, Phi(r) = -1r + C . Então, o gradiente em coordenadas esféricas simplifica para:
Comparando com , temos:
Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Resposta

O campo escalar é dado por
Phi(r) = -1r + C
onde é uma constante.

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