Considere o campo vetorial
Decorre de (b) que
pode ser escrito com o gradiente de um campo escalar
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um campo escalar
tal que o gradiente dele seja igual ao campo vetorial dado:
Aqui, estamos trabalhando com o conceito de potencial escalar e utilizando operações de cálculo vetorial, especificamente o gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o gradiente de um campo escalar. O gradiente de
é um vetor que aponta na direção de maior variação de
e tem magnitude igual à taxa de variação nessa direção. Matematicamente:
Nosso objetivo é encontrar
tal que, ao calcular o gradiente dela, obtenhamos o campo
dado.
Passo 3
Vamos considerar a forma do campo
. Sabemos que:
e
Então, podemos reescrever
como:
Agora, precisamos encontrar uma função escalar
cuja derivada parcial em cada direção (
,
,
) nos dê os componentes de
.
Passo 4
Vamos assumir que
depende apenas da distância
, ou seja,
. Então, o gradiente em coordenadas esféricas simplifica para:
Comparando com
, temos:
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Resposta
O campo escalar é dado por
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
Obtenha o fluxo de
sobre a superfície da esfera de raio
centrada na origem;
Sejam A e
campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades:
Considere o campo vetorial
em coordenadas cilíndricas
em que
é uma constante não nula. Determine: A circulação de
ao longo de um círculo de raio
centrado num ponto
à distância
da origem
. Sugestão: use o teorema de Stokes;
Um solenoide tem um comprimento
, um diâmetro interno
, e conduz uma corrente
. É formado por cinco camadas de espiras cerradas, cada uma com 850 espiras. Qual é o valor de B no centro do solenoide?