Sejam A e f campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades: nabla times(f A)=f nabla times A+A times nabla f

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma identidade envolvendo o rotacional de um produto entre um campo escalar e um campo vetorial . Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente manipulando operadores como o rotacional ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como o rotacional atua sobre produtos de funções escalares e vetoriais e usar as propriedades básicas dos operadores vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial , denotado por , mede a tendência de a girar em torno de um ponto.
Agora, queremos encontrar , onde é uma função escalar e é um campo vetorial.

Passo 3

Vamos aplicar a definição do rotacional em componentes. Sabemos que:
nabla times (f A) = ( partialpartial y (f Az) - partialpartial z (f Ay) ) i + ( partialpartial z (f Ax) - partialpartial x (f Az) ) j + ( partialpartial x (f Ay) - partialpartial y (f Ax) ) k

Passo 4

Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivadas. Por exemplo, para o primeiro termo:
partialpartial y (f Az) = f partial Azpartial y + Az partial fpartial y
Fazemos isso para todos os termos:
nabla times (f A) = f (nabla times A) + ( Az partial fpartial y - Ay partial fpartial z ) i + ( Ax partial fpartial z - Az partial fpartial x ) j + ( Ay partial fpartial x - Ax partial fpartial y ) k

Passo 5

Observando os termos extras, percebemos que eles formam o produto vetorial A times nabla f = i & j & k Ax & Ay & Az partial fpartial x & partial fpartial y & partial fpartial z = ( Ay partial fpartial z - Az partial fpartial y ) i + ( Az partial fpartial x - Ax partial fpartial z ) j + ( Ax partial fpartial y - Ay partial fpartial x ) k . Vamos verificar:

Passo 6

Comparando com o que obtivemos anteriormente, vemos que:
nabla times (f A) = f (nabla times A) + A times nabla f
Isso confirma a identidade que precisávamos demonstrar.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
nabla times (f A) = f nabla times A + A times nabla f

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