Sejam A e
campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma identidade envolvendo o rotacional de um produto entre um campo escalar
e um campo vetorial
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente manipulando operadores como o rotacional (
). Para resolver isso, vamos precisar entender como o rotacional atua sobre produtos de funções escalares e vetoriais e usar as propriedades básicas dos operadores vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial
, denotado por
, mede a tendência de
a girar em torno de um ponto.
Agora, queremos encontrar
, onde
é uma função escalar e
é um campo vetorial.
Passo 3
Vamos aplicar a definição do rotacional em componentes. Sabemos que:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivadas. Por exemplo, para o primeiro termo:
Fazemos isso para todos os termos:
Passo 5
Observando os termos extras, percebemos que eles formam o produto vetorial
. Vamos verificar:
Passo 6
Comparando com o que obtivemos anteriormente, vemos que:
Isso confirma a identidade que precisávamos demonstrar.
Resposta
Portanto, demonstramos que: