Sejam A e campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma identidade envolvendo o rotacional de um produto entre um campo escalar e um campo vetorial . Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente manipulando operadores como o rotacional ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como o rotacional atua sobre produtos de funções escalares e vetoriais e usar as propriedades básicas dos operadores vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial , denotado por , mede a tendência de a girar em torno de um ponto.
Agora, queremos encontrar , onde é uma função escalar e é um campo vetorial.

Passo 3

Vamos aplicar a definição do rotacional em componentes. Sabemos que:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivadas. Por exemplo, para o primeiro termo:
Fazemos isso para todos os termos:

Passo 5

Observando os termos extras, percebemos que eles formam o produto vetorial . Vamos verificar:

Passo 6

Comparando com o que obtivemos anteriormente, vemos que:
Isso confirma a identidade que precisávamos demonstrar.

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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Considere o campo vetorial
Obtenha o fluxo de sobre a superfície da esfera de raio centrada na origem;
Considere o campo vetorial
Decorre de (b) que pode ser escrito com o gradiente de um campo escalar . Determine .