Sejam A e campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma identidade envolvendo o rotacional de um produto entre um campo escalar e um campo vetorial . Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente manipulando operadores como o rotacional (). Para resolver isso, vamos precisar entender como o rotacional atua sobre produtos de funções escalares e vetoriais e usar as propriedades básicas dos operadores vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial , denotado por , mede a tendência de a girar em torno de um ponto.
Agora, queremos encontrar , onde é uma função escalar e é um campo vetorial.
Passo 3
Vamos aplicar a definição do rotacional em componentes. Sabemos que:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivadas. Por exemplo, para o primeiro termo:
Fazemos isso para todos os termos:
Passo 5
Observando os termos extras, percebemos que eles formam o produto vetorial . Vamos verificar:
Passo 6
Comparando com o que obtivemos anteriormente, vemos que:
Isso confirma a identidade que precisávamos demonstrar.