Considere o campo vetorial em coordenadas cilíndricas
em que é uma constante não nula. Determine: A circulação de ao longo de um círculo de raio centrado num ponto à distância da origem . Sugestão: use o teorema de Stokes;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado em coordenadas cilíndricas pela expressão:
Aqui, é uma constante não nula, é o vetor unitário na direção azimutal e é a coordenada radial. O problema quer que a gente calcule a circulação desse campo ao longo de um círculo de raio , que está centrado em um ponto localizado a uma distância da origem. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial numa curva fechada com o fluxo do rotacional desse campo através de uma superfície limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. Circulação é basicamente o quanto o campo vetorial “gira” ao redor de uma curva fechada. Matematicamente, é representada por:
Onde é a curva fechada, e é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que nos diz que a circulação ao longo de é igual ao fluxo do rotacional de através de uma superfície limitada por :
Onde é o rotacional de e é um elemento de área na superfície .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o rotacional de . Em coordenadas cilíndricas, o rotacional é dado por:
No nosso caso, , então , e . Substituindo:
Ent��o, o rotacional de é zero.

Passo 5

Com o rotacional sendo zero, o fluxo do rotacional através de qualquer superfície será também zero:
De acordo com o Teorema de Stokes, isso significa que a circulação de ao longo da curva também é zero.

Resposta

A circulação de ao longo do círculo de raio é .

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