Considere o campo vetorial B em coordenadas cilíndricas
B=a phirho
em que a é uma constante não nula. Determine: A circulação de B ao longo de um círculo de raio b centrado num ponto R à distância R=|R|>b da origem (0,0,0). Sugestão: use o teorema de Stokes;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial B dado em coordenadas cilíndricas pela expressão:
B = a phirho
Aqui, a é uma constante não nula, phi é o vetor unitário na direção azimutal e rho é a coordenada radial. O problema quer que a gente calcule a circulação desse campo ao longo de um círculo de raio b, que está centrado em um ponto R localizado a uma distância R = |R| > b da origem. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial numa curva fechada com o fluxo do rotacional desse campo através de uma superfície limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. Circulação é basicamente o quanto o campo vetorial “gira” ao redor de uma curva fechada. Matematicamente, é representada por:
ointC B cdot dl
Onde C é a curva fechada, e dl é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo de C.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que nos diz que a circulação ao longo de C é igual ao fluxo do rotacional de B através de uma superfície S limitada por C:
ointC B cdot dl = integral duplaS (nabla times B) cdot dS
Onde nabla times B é o rotacional de B e dS é um elemento de área na superfície S.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o rotacional de B. Em coordenadas cilíndricas, o rotacional é dado por:
nabla times B = ( 1rho partial Bzpartial phi - partial Bphipartial z ) rho + ( partial Brhopartial z - partial Bzpartial rho ) phi + 1rho ( partial (rho Bphi)partial rho - partial Brhopartial phi ) z
No nosso caso, B = a phirho, então Brho = 0, Bphi = arho e Bz = 0. Substituindo:
nabla times B = 1rho ( partial (rho cdot arho)partial rho - 0 ) z = 1rho ( partial apartial rho ) z = 0 cdot z = 0
Ent��o, o rotacional de B é zero.

Passo 5

Com o rotacional sendo zero, o fluxo do rotacional através de qualquer superfície S será também zero:
integral duplaS (nabla times B) cdot dS = 0
De acordo com o Teorema de Stokes, isso significa que a circulação de B ao longo da curva C também é zero.

Resposta

A circulação de B ao longo do círculo de raio b é 0.

Exercícios relacionados