Considere o campo vetorial
em coordenadas cilíndricas
em que
é uma constante não nula. Determine: A circulação de
ao longo de um círculo de raio
centrado num ponto
à distância
da origem
. Sugestão: use o teorema de Stokes;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
dado em coordenadas cilíndricas pela expressão:
Aqui,
é uma constante não nula,
é o vetor unitário na direção azimutal e
é a coordenada radial. O problema quer que a gente calcule a circulação desse campo ao longo de um círculo de raio
, que está centrado em um ponto
localizado a uma distância
da origem. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial numa curva fechada com o fluxo do rotacional desse campo através de uma superfície limitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. Circulação é basicamente o quanto o campo vetorial “gira” ao redor de uma curva fechada. Matematicamente, é representada por:
Onde
é a curva fechada, e
é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que nos diz que a circulação ao longo de
é igual ao fluxo do rotacional de
através de uma superfície
limitada por
:
Onde
é o rotacional de
e
é um elemento de área na superfície
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
. Em coordenadas cilíndricas, o rotacional é dado por:
No nosso caso,
, então
,
e
. Substituindo:
Ent��o, o rotacional de
é zero.
Passo 5
Com o rotacional sendo zero, o fluxo do rotacional através de qualquer superfície
será também zero:
De acordo com o Teorema de Stokes, isso significa que a circulação de
ao longo da curva
também é zero.
Resposta
A circulação de
ao longo do círculo de raio
é
.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
Decorre de (b) que
pode ser escrito com o gradiente de um campo escalar
. Determine
.
Considere o campo vetorial
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sobre a superfície da esfera de raio
centrada na origem;
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, um diâmetro interno
, e conduz uma corrente
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