Considere o campo vetorial:
F(x, y) = (x^3 y^4, x^4 y^3)
Ache uma função f tal que F = nabla f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos uma função tal que o campo vetorial . Isso está relacionado ao estudo de gradientes em cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar integrar as componentes do campo vetorial para obter a função .

Passo 2

Dado o campo vetorial:
Isso significa que:
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a para encontrar .

Passo 3

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a derivada em relação a elimina qualquer termo que não dependa de .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar . Calculando a derivada de com respeito a :
Igualando isso à segunda componente do campo vetorial:
Aí vemos que , ou seja, é uma constante.

Passo 5

Assim, a função fica:
Onde é uma constante qualquer.

Resposta

A função que satisfaz é:

Exercícios relacionados

Considere o campo vetorial:
F(x, y) = (x^3 y^4, x^4 y^3)
Verifique que F é campo vetorial conservativo.
Calcule.
integral sen 5 x d x
Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
integralC(tg y) d x+(cos x) d y+(sen z) d z
onde C é a curva obtida pela intersecção da superfície cilíndrica descrita por max |x|,|y|=pi / 4 (superfície que tem como base no plano x y a fronteira do quadrado [-pi / 4, pi / 4] times[-pi / 4, pi / 4] e tem como eixo o eixo z ), com o plano 2 x+2 y+z=5, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Calcule o fluxo do campo vetorial F através da superfície S , i.e., obtenha
integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=(2023 x z,-2023 y z, 25 pi z)
e S é a superfície fechada e com orientação positiva, consistituida da justaposição das três superfícies:
rll z=4-3 raizx^2+y^2 & ( com 1 <= z <= 4) & cone no topo x^2+y^2=1 & ( com 0 <= z <= 1) & cilindro na lateral z=x^2+y^2-1 & ( com -1 <= z <= 0) & paraboloide na base