Calcule o fluxo do campo vetorial F através da superfície S , i.e., obtenha
integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=(2023 x z,-2023 y z, 25 pi z)
e S é a superfície fechada e com orientação positiva, consistituida da justaposição das três superfícies:
rll z=4-3 raizx^2+y^2 & ( com 1 <= z <= 4) & cone no topo x^2+y^2=1 & ( com 0 <= z <= 1) & cilindro na lateral z=x^2+y^2-1 & ( com -1 <= z <= 0) & paraboloide na base

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada . Essa superfície é formada por três partes: um cone, um cilindro e um paraboloide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o fluxo de campos vetoriais e o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “quantidade” do campo está passando pela superfície. Para facilitar esse cálculo em superfícies fechadas, o Teorema da Divergência é super útil. Ele nos permite transformar o fluxo através da superfície em uma integral de volume da divergência do campo vetorial dentro desse volume.

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema da Divergência. A fórmula do teorema é:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Aqui, é o volume fechado pela superfície , e é a divergência do campo .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência é dada por:
partial Fxpartial x = 2023z
Onde:
  • partial Fypartial y = -2023z
  • partial Fzpartial z = 25pi
  • nabla cdot F = 2023z - 2023z + 25pi = 25pi
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 5

Agora, precisamos configurar a integral de volume . Para isso, é importante entender a forma do volume definido pelas três superfícies:
  1. Cone: , com
  2. Cilindro: , com
  3. Paraboloide: , com
Parece complicado, mas vamos notar que essas superfícies são simétricas em relação ao eixo , então coordenadas cilíndricas vão facilitar. Em coordenadas cilíndricas, , , , e o elemento de volume é .

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • integral triplaV 25pi , dV = 25pi times Volume(V) varia de V1 = integral0^2pi integral0^1 integralr^2 -1^0 r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 [0 - (r^2 -1)] r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 (1 - r^2) r , dr , dtheta a integral0^1 (r - r^3) , dr = [12r^2 - 14r^4]0^1 = 12 - 14 = 14 (completando o círculo)
  • V1 = integral0^2pi 14 , dtheta = 14 times 2pi = pi2 varia de V2 = integral0^2pi integral0^1 integral0^1 r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 1 times r , dr , dtheta = integral0^2pi [12r^2]0^1 , dtheta = integral0^2pi 12 , dtheta = 12 times 2pi = pi a V3 = integral0^2pi integral0^4 - z3 integral1^4 - 3r r , dz , dr , dtheta (pois o cilindro tem raio 1)
  • Para V3 = integral0^2pi integral1^4 integral0^4 - z3 r , dr , dz , dtheta = integral0^2pi integral1^4 [12r^2]0^4 - z3 dz , dtheta = integral0^2pi integral1^4 12(4 - z3)^2 dz , dtheta , temos diferentes limites dependendo da altura:
    • De V3 = 118 integral0^2pi integral1^4 (4 - z)^2 dz , dtheta a integral1^4 (4 - z)^2 dz = integral3^0 u^2 (-du) = integral0^3 u^2 du = [13u^3]0^3 = 13 times 27 = 9 : limitado pelo paraboloide V3 = 118 times 9 times integral0^2pi dtheta = 12 times 2pi = pi e pelo cilindro V = V1 + V2 + V3 = pi2 + pi + pi = 5pi2
    • De a : limitado pelo cilindro e pelo cilindro
    • De a : limitado pelo cilindro e pelo cone
Mas, como a divergência é constante ( ), a integral se simplifica:
Então, precisamos calcular o volume .
Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Paraboloide ( ):
Integrando em :
Então,
  1. Cilindro ( ):
  1. Cone ( ):
No cone, , então para um dado , . Os limites para são de 1 a 4.
Mas para simplificar, podemos inverter as integrais:
Primeiro integrar em de a , depois em de 1 a 4.
Calculando:
Simplificando:
Calculando a integral em :
Vamos fazer a substituição , então quando , ; quando , .
Então,
  1. Somando os volumes:

Resposta

Aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo é:
integral duplaS F cdot d S = 25pi times 5pi2 = 1
Então, o fluxo do campo vetorial através da superfície é 1.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
integralC(tg y) d x+(cos x) d y+(sen z) d z
onde C é a curva obtida pela intersecção da superfície cilíndrica descrita por max |x|,|y|=pi / 4 (superfície que tem como base no plano x y a fronteira do quadrado [-pi / 4, pi / 4] times[-pi / 4, pi / 4] e tem como eixo o eixo z ), com o plano 2 x+2 y+z=5, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Considere o campo vetorial:
F(x, y) = (x^3 y^4, x^4 y^3)
Ache uma função f tal que F = nabla f.
Consider the problem of finding a solution u(x, y) of Laplace
u_x(0, y) = 0, u_x(a, y) = f(y), 0 < y < b; u_y(x, 0) = 0, u_y(x, b) = 0, 0 < x < a
This is an example of a Neumann problem.
Show that Laplace
u_rr + (1/r) u_r + (1/r^2) u_theta_theta = 0
Hint: Use x = r cos(theta) and y = r * sen(θ) and the chain rule.