Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície S , i.e., obtenha
e S é a superfície fechada e com orientação positiva, consistituida da justaposição das três superfícies:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada . Essa superfície é formada por três partes: um cone, um cilindro e um paraboloide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o fluxo de campos vetoriais e o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “quantidade” do campo está passando pela superfície. Para facilitar esse cálculo em superfícies fechadas, o Teorema da Divergência é super útil. Ele nos permite transformar o fluxo através da superfície em uma integral de volume da divergência do campo vetorial dentro desse volume.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema da Divergência. A fórmula do teorema é:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Aqui, é o volume fechado pela superfície , e é a divergência do campo .
Passo 4
Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência é dada por:
partial Fxpartial x = 2023z
Onde:
partial Fypartial y = -2023z
partial Fzpartial z = 25pi
nabla cdot F = 2023z - 2023z + 25pi = 25pi
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos configurar a integral de volume . Para isso, é importante entender a forma do volume definido pelas três superfícies:
Cone: , com
Cilindro: , com
Paraboloide: , com
Parece complicado, mas vamos notar que essas superfícies são simétricas em relação ao eixo , então coordenadas cilíndricas vão facilitar. Em coordenadas cilíndricas, , , , e o elemento de volume é .
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites de integração:
integral triplaV 25pi , dV = 25pi times Volume(V) varia de V1 = integral0^2pi integral0^1 integralr^2 -1^0 r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 [0 - (r^2 -1)] r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 (1 - r^2) r , dr , dtheta a integral0^1 (r - r^3) , dr = [12r^2 - 14r^4]0^1 = 12 - 14 = 14 (completando o círculo)
V1 = integral0^2pi 14 , dtheta = 14 times 2pi = pi2 varia de V2 = integral0^2pi integral0^1 integral0^1 r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 1 times r , dr , dtheta = integral0^2pi [12r^2]0^1 , dtheta = integral0^2pi 12 , dtheta = 12 times 2pi = pi a V3 = integral0^2pi integral0^4 - z3 integral1^4 - 3r r , dz , dr , dtheta (pois o cilindro tem raio 1)
Para V3 = integral0^2pi integral1^4 integral0^4 - z3 r , dr , dz , dtheta = integral0^2pi integral1^4 [12r^2]0^4 - z3 dz , dtheta = integral0^2pi integral1^4 12(4 - z3)^2 dz , dtheta , temos diferentes limites dependendo da altura:
De V3 = 118 integral0^2pi integral1^4 (4 - z)^2 dz , dtheta a integral1^4 (4 - z)^2 dz = integral3^0 u^2 (-du) = integral0^3 u^2 du = [13u^3]0^3 = 13 times 27 = 9 : limitado pelo paraboloide V3 = 118 times 9 times integral0^2pi dtheta = 12 times 2pi = pi e pelo cilindro V = V1 + V2 + V3 = pi2 + pi + pi = 5pi2
De a : limitado pelo cilindro e pelo cilindro
De a : limitado pelo cilindro e pelo cone
Mas, como a divergência é constante (), a integral se simplifica:
Então, precisamos calcular o volume .
Vamos calcular cada parte separadamente:
Paraboloide ():
Integrando em :
Então,
Cilindro ():
Cone ():
No cone, , então para um dado , . Os limites para são de 1 a 4.
Mas para simplificar, podemos inverter as integrais:
Primeiro integrar em de a , depois em de 1 a 4.
Calculando:
Simplificando:
Calculando a integral em :
Vamos fazer a substituição , então quando , ; quando , .
Então,
Somando os volumes:
Resposta
Aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo é:
integral duplaS F cdot d S = 25pi times 5pi2 = 1
Então, o fluxo do campo vetorial através da superfície é 1.