Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
integralC(tg y) d x+(cos x) d y+(sen z) d z
onde C é a curva obtida pela intersecção da superfície cilíndrica descrita por max |x|,|y|=pi / 4 (superfície que tem como base no plano x y a fronteira do quadrado [-pi / 4, pi / 4] times[-pi / 4, pi / 4] e tem como eixo o eixo z ), com o plano 2 x+2 y+z=5, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral de linha:
integralC (tan y), dx + (cos x), dy + (sin z), dz
onde é uma curva específica formada pela interseção de uma superfície cilíndrica com um plano. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície. Precisamos conhecer o teorema, entender o que é uma integral de linha e de superfície, e saber como calcular o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

O Teorema de Stokes nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS
Isso significa que a integral de linha ao redor da curva é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície limitada por . Aqui, é o campo vetorial dado.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) , que é nabla times F = (0 - 0, 0 - 0, -sin x - sec^2 y) = (0, 0, -sin x - sec^2 y) . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  • (já que não depende de )
Então:

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície que tenha como contorno. A curva é a interseção da superfície cilíndrica com o plano .
Essa superfície cilíndrica forma a borda de um quadrado no plano , com lados de a tanto para quanto para . A interseção com o plano cria a curva .
Vamos escolher como a parte da superfície cilíndrica limitada pela curva . Precisamos determinar o vetor normal dessa superfície.

Passo 5

Para encontrar o vetor normal , precisamos considerar a orientação da curva , que é anti-horária vista de cima. Como estamos trabalhando com a superfície cilíndrica, o vetor normal será paralelo ao eixo .
Portanto, podemos escolher . Isso simplifica nossa integral de superfície, pois apenas a componente do rotacional contribuirá.

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS = integral duplaS (-sin x - sec^2 y) cdot 1, dS
Ou seja:
ointC F cdot dr = integral duplaS (-sin x - sec^2 y), dS

Passo 7

Para calcular essa integral de superfície, vamos parametrizar a superfície integral-pi/4^pi/4 integral-pi/4^pi/4 (-sin x - sec^2 y), dx, dy . Como está na superfície cilíndrica , podemos variar e dentro de .
A integral se torna:

Passo 8

Vamos resolver a integral dupla separadamente para cada termo:
  1. Integral de integral-pi/4^pi/4 integral-pi/4^pi/4 (-sin x), dx, dy = - integral-pi/4^pi/4 [ integral-pi/4^pi/4 sin x, dx ] dy :
integral-pi/4^pi/4 integral-pi/4^pi/4 (-sec^2 y), dx, dy = - integral-pi/4^pi/4 [ integral-pi/4^pi/4 sec^2 y, dx ] dy
A integral de integral-pi/4^pi/4 dx = pi2 de - pi2 integral-pi/4^pi/4 sec^2 y, dy = - pi2 [ tan y ]-pi/4^pi/4 = - pi2 ( tan (pi/4) - tan (-pi/4) ) = - pi2 (1 - (-1)) = - pi2 times 2 = -pi a é que resulta em , mas como multiplicamos por -1, temos que esse termo se anula pela simetria.
  1. Integral de :
Como não depende de , a integral interna é:
Então, a integral fica:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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