Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
onde é a curva obtida pela intersecção da superfície cilíndrica descrita por (superfície que tem como base no plano a fronteira do quadrado e tem como eixo o eixo ), com o plano , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral de linha:
onde é uma curva específica formada pela interseção de uma superfície cilíndrica com um plano. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície. Precisamos conhecer o teorema, entender o que é uma integral de linha e de superfície, e saber como calcular o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
O Teorema de Stokes nos diz que:
Isso significa que a integral de linha ao redor da curva é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície limitada por . Aqui, é o campo vetorial dado.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de , que é . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
(já que não depende de )
Então:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície que tenha como contorno. A curva é a interseção da superfície cilíndrica com o plano .
Essa superfície cilíndrica forma a borda de um quadrado no plano , com lados de a tanto para quanto para . A interseção com o plano cria a curva .
Vamos escolher como a parte da superfície cilíndrica limitada pela curva . Precisamos determinar o vetor normal dessa superfície.
Passo 5
Para encontrar o vetor normal , precisamos considerar a orientação da curva , que é anti-horária vista de cima. Como estamos trabalhando com a superfície cilíndrica, o vetor normal será paralelo ao eixo .
Portanto, podemos escolher . Isso simplifica nossa integral de superfície, pois apenas a componente do rotacional contribuirá.
Passo 6
Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos:
Ou seja:
Passo 7
Para calcular essa integral de superfície, vamos parametrizar a superfície . Como está na superfície cilíndrica , podemos variar e dentro de .
A integral se torna:
Passo 8
Vamos resolver a integral dupla separadamente para cada termo:
Integral de :
A integral de de a é que resulta em , mas como multiplicamos por -1, temos que esse termo se anula pela simetria.