Calcule a integral de linha , onde é dada por , com .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial específico ao longo de uma curva dada. Isso faz parte do Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, encontrar uma função potencial (se o campo for conservativo) e, finalmente, integrar. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial e a curva:
O campo vetorial é:
A curva é parametrizada por:
Passo 3
Como o campo vetorial parece complicado, vamos verificar se ele é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Se for conservativo, a integral de linha depende apenas dos valores de nos pontos finais da curva.
Para verificar se é conservativo, calculamos o rotacional de :
Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.
Passo 4
Calculando o rotacional:
Resolvendo o determinante:
nabla times F &= ( partialpartial y(x e^z + y^2) - partialpartial z(2 y z) ) i & - ( partialpartial x(x e^z + y^2) - partialpartial z(e^z) ) j & + ( partialpartial x(2 y z) - partialpartial y(e^z) ) k &= (2y - 2y) i - (e^z - e^z) j + (0 - 0) k &= 0 i - 0 j + 0 k &= 0
Como o rotacional é zero, o campo é conservativo!
Passo 5
Agora que sabemos que partial phipartial x = e^z, partial phipartial y = 2 y z, partial phipartial z = x e^z + y^2 é conservativo, existe uma função potencial phi(x, y, z) = x e^z + g(y, z) tal que partial phipartial y = partial gpartial y = 2 y z implies g(y, z) = y^2 z + h(z) . Vamos encontrar partial phipartial z = x e^z + y^2 + h'(z) = x e^z + y^2 :
Temos:
implies h'(z) = 0 implies h(z) = constante
Integrando phi(x, y, z) = x e^z + y^2 z + C em relação a :
Agora, derivando em relação a :
Finalmente, derivando em relação a :
Então, a função potencial é:
Onde é uma constante que vai se cancelar na diferença.
Passo 6
Como a integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos extremos da curva, temos:
integralC F cdot dr = phi(r(2pi)) - phi(r(0))
Vamos calcular r(0) = (cos 0, sin 0, 0) = (1, 0, 0) nos pontos finais:
Para phi(1, 0, 0) = 1 cdot e^0 + 0^2 cdot 0 + C = 1 + C :
r(2pi) = (cos 2pi, sin 2pi, 2pi) = (1, 0, 2pi)
phi(1, 0, 2pi) = 1 cdot e^2pi + 0^2 cdot 2pi + C = e^2pi + C
Para :
Resposta
Subtraindo os valores:
integralC F cdot dr = (e^2pi + C) - (1 + C) = e^2pi - 1