A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura
de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante
do meio ambiente, isto é:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
(a) Encontre a solução geral da EDO (1).
(a) Encontre a solução geral da EDO (1).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um corpo muda ao longo do tempo quando está esfriando num ambiente com temperatura constante. A equação que representa isso é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
Aqui,
é a temperatura do corpo no tempo
,
é a temperatura do meio ambiente, e
é uma constante de proporcionalidade. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO, ou seja, expressar
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual tipo de equação diferencial temos aqui. A equação é linear de primeira ordem, da forma:
No nosso caso, podemos reescrever a equação assim:
Comparando com a forma padrão, temos:
Para resolver esse tipo de equação, usamos o método do fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Passo 3
Vamos calcular o fator integrante:
Esse fator será usado para multiplicar toda a equação diferencial, facilitando a integração posteriormente.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, fazemos a integração dos dois lados em relação ao tempo
:
A integração do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos integrar o lado direito:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para resolver para
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao mover uma partícula desde o ponto
até o ponto
.
Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
em torno do eixo
Considere o campo vetorial
Calcule a integral de linha
, onde
é dada por
, com
.
Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
em torno do eixo