Considere o campo vetorial
F(x, y) = ln(y^2 + 1) i + (2y(x - 1))/(y^2 + 1) j
Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial F ao mover uma partícula desde o ponto (-1, 1) até o ponto (2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado por
F(x, y) = ln(y^2 + 1) i + (2y(x - 1))/(y^2 + 1) j
E a gente precisa calcular o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula do ponto (-1, 1) até o ponto (2,3). Vamos usar cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho é calculado pela integral de linha:
Onde C é o caminho seguido pela partícula. Mas, tem um jeito mais fácil se o campo for conservativo!

Passo 3

Um campo vetorial é conservativo se ele é o gradiente de alguma função potencial phi(x, y), ou seja, . Nesse caso, o trabalho só depende dos pontos inicial e final, não do caminho. Vamos verificar se o nosso campo é conservativo.

Passo 4

Para saber se F é conservativo, a gente verifica se:
Onde e . Calculando as derivadas:
Como são iguais, o campo é conservativo!

Passo 5

Agora que sabemos que F é conservativo, existe uma função potencial phi(x, y) tal que:
Vamos integrar em relação a x para encontrar phi:
Onde é uma função que depende só de y.

Passo 6

Para encontrar , vamos usar a segunda componente de F:
Calculando a derivada de phi(x, y) em relação a y:
Igualando com :

Passo 7

Subtraindo dos dois lados:
Agora, integramos para encontrar :
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Assim, a função potencial é:

Passo 9

O trabalho realizado pelo campo vetorial é a diferença da função potencial nos pontos final e inicial:
Vamos calcular cada parte:
Para (2,3):
Para (-1, 1):

Resposta

Portanto, o trabalho realizado é:

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