Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial ao mover uma partícula desde o ponto até o ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado por
E a gente precisa calcular o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula do ponto até o ponto . Vamos usar cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho é calculado pela integral de linha:
Onde é o caminho seguido pela partícula. Mas, tem um jeito mais fácil se o campo for conservativo!
Passo 3
Um campo vetorial é conservativo se ele é o gradiente de alguma função potencial , ou seja, . Nesse caso, o trabalho só depende dos pontos inicial e final, não do caminho. Vamos verificar se o nosso campo é conservativo.
Passo 4
Para saber se é conservativo, a gente verifica se:
Onde e . Calculando as derivadas:
Como são iguais, o campo é conservativo!
Passo 5
Agora que sabemos que é conservativo, existe uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Onde é uma função que depende só de .
Passo 6
Para encontrar , vamos usar a segunda componente de :
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando com :
Passo 7
Subtraindo dos dois lados:
Agora, integramos para encontrar :
Onde é a constante de integração.
Passo 8
Assim, a função potencial é:
Passo 9
O trabalho realizado pelo campo vetorial é a diferença da função potencial nos pontos final e inicial: