Considere o campo vetorial , onde é de classe . Seja uma lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por , e . Sabendo que o fluxo de através de , de dentro para fora é igual a , calcule o valor de .
Passo 1
Então, galera, o exercício fala sobre um campo vetorial e uma superfície que é uma lata cilíndrica. A gente precisa calcular o fluxo desse campo através da superfície e descobrir o valor de que satisfaz a condição dada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especialmente o Teorema da Divergência, que nos ajuda a relacionar o fluxo através da superfície com a divergência do campo dentro do volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Basicamente, ele mede o quanto o campo está “passando” pela superfície. Para facilitar, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo através da superfície é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por .
Passo 3
Vamos calcular a divergência de . A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes de em relação às suas variáveis:
Como é uma função de e , a derivada parcial em relação a é zero:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume da lata cilíndrica. As coordenadas cilíndricas são mais fáceis para esse cálculo. As integrais ficam: