Considere o campo vetorial F = (x + f(y, z)) * i + (x - y + z) * j + (z^4 - 3 * a^2) * k, onde f: R^2 -> R é de classe C^1. Seja S uma lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por x^2 + y^2 = a^2, 0 <= z <= raiz(a), a > 0 e x^2 + y^2 <= a^2, z = 0. Sabendo que o fluxo de F através de S, de dentro para fora é igual a pi a^3, calcule o valor de a.

Passo 1

Então, galera, o exercício fala sobre um campo vetorial e uma superfície que é uma lata cilíndrica. A gente precisa calcular o fluxo desse campo através da superfície e descobrir o valor de que satisfaz a condição dada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especialmente o Teorema da Divergência, que nos ajuda a relacionar o fluxo através da superfície com a divergência do campo dentro do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Basicamente, ele mede o quanto o campo está “passando” pela superfície. Para facilitar, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo através da superfície é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes de em relação às suas variáveis:
Como é uma função de e , a derivada parcial em relação a é zero:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume da lata cilíndrica. As coordenadas cilíndricas são mais fáceis para esse cálculo. As integrais ficam:
Integrando em :

Passo 5

Agora, integramos em e :

Passo 6

Sabemos que o fluxo é igual a . Então, temos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Resolvendo para :
Como , descartamos e temos:

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados