Seja a superfície cônica S de vértice (0,0, h),(h>0), de base situada no plano x y com raio 1 e n com componente k não negativa. Seja F(x, y, z)=partial fpartial y(x, y, z) i-partial fpartial x(x, y, z) j+2(z+1) k, sendo f(x, y, z) de classe C^2 em R^3. Calcule o fluxo de F através de S.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície cônica com vértice em , base no plano com raio 1, e uma orientação tal que a componente do vetor normal é não negativa. Além disso, temos um campo vetorial , onde é uma função de classe em . O objetivo é calcular o fluxo de através da superfície .
Para resolver isso, vamos precisar utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Também precisaremos entender como calcular fluxos em superfícies específicas como cones e discos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial div , F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z . A divergência de um campo vetorial P = partial fpartial y, Q = -partial fpartial x, R = 2(z + 1) é dada por:
div , F = partialpartial x ( partial fpartial y ) + partialpartial y ( -partial fpartial x ) + partialpartial z ( 2(z + 1) )
Aplicando isso ao nosso campo = partial^2 fpartial x partial y - partial^2 fpartial y partial x + 2 :
div , F = 0 + 2 = 2
Então,
Pela comutatividade das derivadas parciais (desde que seja suficientemente suave, o que é o caso aqui), temos . Portanto,

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que nos diz que o fluxo de Phi = integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV div , F , dV através da superfície fechada Phitotal = PhiS + PhiB = integral triplaV 2 , dV é igual à integral da divergência de sobre o volume limitado por :
Contudo, nossa superfície é apenas o cone. Para usar o Teorema da Divergência, precisamos considerar uma superfície fechada. Então, vamos imaginar que adicionamos a base do cone , que é um disco no plano com raio 1. Assim, a superfície fechada é formada por e .
Portanto,
Onde é o fluxo através do cone e é o fluxo através da base.

Passo 4

Vamos calcular a integral de V = 13 pi r^2 h sobre o volume V = 13 pi (1)^2 h = pi h3 do cone. A fórmula para o volume de um cone é:
integral triplaV 2 , dV = 2 times pi h3 = 2pi h3
Aqui, e , então:
Então,

Passo 5

Agora, precisamos calcular o fluxo através da base F(x, y, 0) = partial fpartial y i - partial fpartial x j + 2(0 + 1) k = partial fpartial y i - partial fpartial x j + 2 k . A base está no plano PhiB = integral duplaB F cdot n , dS = integral duplaB ( partial fpartial y i - partial fpartial x j + 2 k ) cdot (0 i + 0 j -1 k) , dS com normal na direção negativa de = integral duplaB (0 + 0 - 2) , dS = -2 integral duplaB dS = -2 times pi (1)^2 = -2pi (já que a normal ao cone tem componente não negativa). O campo na base ( ) é:
O vetor normal à base é . Portanto, o fluxo através da base é:

Passo 6

Agora, voltamos à equação do Teorema da Divergência:
Phitotal = PhiS + PhiB = 2pi h3
Queremos encontrar PhiS = 2pi h3 - PhiB = 2pi h3 - (-2pi) = 2pi h3 + 2pi , então isolamos:
PhiS = 2pi ( h3 + 1 ) = 2pi (1 + h3 )

Resposta

O fluxo de PhiS = 2pi (1 + h3 ) através da superfície é:

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