Seja a superfície cônica
de vértice
, de base situada no plano
com raio 1 e
com componente
não negativa. Seja
, sendo
de classe
em
. Calcule o fluxo de
através de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície cônica
com vértice em
, base no plano
com raio 1, e uma orientação tal que a componente
do vetor normal é não negativa. Além disso, temos um campo vetorial
, onde
é uma função de classe
em
. O objetivo é calcular o fluxo de
através da superfície
.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Também precisaremos entender como calcular fluxos em superfícies específicas como cones e discos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo
:
Então,
Pela comutatividade das derivadas parciais (desde que
seja suficientemente suave, o que é o caso aqui), temos
. Portanto,
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que nos diz que o fluxo de
através da superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
:
Contudo, nossa superfície
é apenas o cone. Para usar o Teorema da Divergência, precisamos considerar uma superfície fechada. Então, vamos imaginar que adicionamos a base do cone
, que é um disco no plano
com raio 1. Assim, a superfície fechada é formada por
e
.
Portanto,
Onde
é o fluxo através do cone e
é o fluxo através da base.
Passo 4
Vamos calcular a integral de
sobre o volume
do cone. A fórmula para o volume de um cone é:
Aqui,
e
, então:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos calcular o fluxo através da base
. A base está no plano
com normal na direção negativa de
(já que a normal ao cone tem componente
não negativa). O campo
na base (
) é:
O vetor normal à base é
. Portanto, o fluxo através da base é:
Passo 6
Agora, voltamos à equação do Teorema da Divergência:
Queremos encontrar
, então isolamos:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é: