Calcule
, sendo
e
a parte da esfera
, com
, orientada com
exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da rotacional do campo vetorial
sobre a parte da esfera dada. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como rotacional e integrais de superfície. Vamos precisar usar o teorema de Stokes para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o teorema de Stokes. Ele diz que a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial
sobre uma superfície
é igual à integral de linha de
ao longo da borda
de
. Matematicamente:
Isso vai nos ajudar a transformar a integral de superfície em uma integral de linha mais fácil de calcular.
Passo 3
Vamos identificar a superfície
e sua borda
. A equação da esfera é
, que podemos reescrever completando o quadrado:
Isso mostra que a esfera tem raio 2 e está centrada em
. A condição
indica que estamos trabalhando com o hemisfério inferior.
A borda
é a curva onde a esfera intersecta o plano
. Substituindo
na equação da esfera:
Então,
é um círculo de raio
no plano
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha
. Primeiro, parametrizamos a curva
.
Como
é um círculo no plano
com raio
, podemos usar a parametrização em coordenadas polares:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos expressar o campo vetorial
na curva
. Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Integrando de
a
:
Vamos separar a integral:
Passo 8
Calculando cada integral:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
. Determine o fluxo de
através da parte do paraboloide
que está acima do plano
, sendo
a normal com componente
não negativa.
Calcule o fluxo do campo
, através do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
, onde
é a normal unitária exterior a
.
Considere o campo vetorial
, seja
a calota esférica
, com
e raio
. Sabendo que o fluxo de
na direção da normal exterior
é igual a
, calcule o raio da calota.
Considere o campo vetorial
, onde
é de classe
. Seja
uma lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por
,
e
. Sabendo que o fluxo de
através de
, de dentro para fora é igual a
, calcule o valor de
.