Calcule , sendo e a parte da esfera , com , orientada com exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da rotacional do campo vetorial sobre a parte da esfera dada. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como rotacional e integrais de superfície. Vamos precisar usar o teorema de Stokes para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o teorema de Stokes. Ele diz que a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície é igual à integral de linha de ao longo da borda de . Matematicamente:
Isso vai nos ajudar a transformar a integral de superfície em uma integral de linha mais fácil de calcular.

Passo 3

Vamos identificar a superfície e sua borda . A equação da esfera é , que podemos reescrever completando o quadrado:
Isso mostra que a esfera tem raio 2 e está centrada em . A condição indica que estamos trabalhando com o hemisfério inferior.
A borda é a curva onde a esfera intersecta o plano . Substituindo na equação da esfera:
Então, é um círculo de raio no plano .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha . Primeiro, parametrizamos a curva .
Como é um círculo no plano com raio , podemos usar a parametrização em coordenadas polares:
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos expressar o campo vetorial na curva . Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar :
Simplificando cada termo:

Passo 7

Integrando de a :
Vamos separar a integral:

Passo 8

Calculando cada integral:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

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Seja . Determine o fluxo de através da parte do paraboloide que está acima do plano , sendo a normal com componente não negativa.
Calcule o fluxo do campo , através do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano , onde é a normal unitária exterior a .
Considere o campo vetorial , seja a calota esférica , com e raio . Sabendo que o fluxo de na direção da normal exterior é igual a , calcule o raio da calota.
Considere o campo vetorial , onde é de classe . Seja uma lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por , e . Sabendo que o fluxo de através de , de dentro para fora é igual a , calcule o valor de .