Calcule integral duplaS(rot F) cdot n d S, sendo F(x, y, z)=(x^2 y+2) i+(x^3+y^4) j+(2 y z-1) k e S a parte da esfera x^2+y^2+z^2-4 z=0, com z <= 1, orientada com n exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da rotacional do campo vetorial F sobre a parte da esfera dada. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como rotacional e integrais de superfície. Vamos precisar usar o teorema de Stokes para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o teorema de Stokes. Ele diz que a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial F sobre uma superfície S é igual à integral de linha de F ao longo da borda partial S de S. Matematicamente:
integral duplaS (rot F) cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr
Isso vai nos ajudar a transformar a integral de superfície em uma integral de linha mais fácil de calcular.

Passo 3

Vamos identificar a superfície S e sua borda partial S. A equação da esfera é x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0, que podemos reescrever completando o quadrado:
x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4
Isso mostra que a esfera tem raio 2 e está centrada em (0, 0, 2). A condição z <= 1 indica que estamos trabalhando com o hemisfério inferior.
A borda partial S é a curva onde a esfera intersecta o plano z = 1. Substituindo z = 1 na equação da esfera:
x^2 + y^2 + (1 - 2)^2 = 4 Rightarrow x^2 + y^2 = 3
Então, partial S é um círculo de raio raiz3 no plano z = 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha ointpartial S F cdot dr. Primeiro, parametrizamos a curva partial S.
Como partial S é um círculo no plano z = 1 com raio raiz3, podemos usar a parametrização em coordenadas polares:
r(theta) = raiz3 costheta , i + raiz3 sintheta , j + 1 , k, theta in [0, 2pi]
Derivando em relação a theta:
drdtheta = -raiz3 sintheta , i + raiz3 costheta , j

Passo 5

Agora, vamos expressar o campo vetorial F na curva partial S. Substituindo z = 1 na expressão de F:
F(r(theta)) = ( (raiz3 costheta)^2 (raiz3 sintheta) + 2 ) i + ( (raiz3 costheta)^3 + (raiz3 sintheta)^4 ) j + ( 2 (raiz3 sintheta)(1) - 1 ) k
Simplificando:
F(theta) = ( 3 cos^2theta cdot raiz3 sintheta + 2 ) i + ( 3raiz3 cos^3theta + 9 sin^4theta ) j + ( 2raiz3 sintheta - 1 ) k

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar F cdot drdtheta:
F cdot drdtheta = ( 3raiz3 cos^2theta sintheta + 2 )( -raiz3 sintheta ) + ( 3raiz3 cos^3theta + 9 sin^4theta )( raiz3 costheta ) + ( 2raiz3 sintheta - 1 )(0)
Simplificando cada termo:
= -3raiz3 cos^2theta sin^2theta - 2raiz3 sintheta + 3raiz3 cos^4theta + 9raiz3 sin^4theta

Passo 7

Integrando de theta = 0 a theta = 2pi:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi ( -3raiz3 cos^2theta sin^2theta - 2raiz3 sintheta + 3raiz3 cos^4theta + 9raiz3 sin^4theta ) dtheta
Vamos separar a integral:
= -3raiz3 integral0^2pi cos^2theta sin^2theta , dtheta - 2raiz3 integral0^2pi sintheta , dtheta + 3raiz3 integral0^2pi cos^4theta , dtheta + 9raiz3 integral0^2pi sin^4theta , dtheta

Passo 8

Calculando cada integral:
  1. integral0^2pi cos^2theta sin^2theta , dtheta = pi2
  2. integral0^2pi sintheta , dtheta = 0
  3. integral0^2pi cos^4theta , dtheta = 3pi4
  4. integral0^2pi sin^4theta , dtheta = 3pi4
Substituindo:
= -3raiz3 cdot pi2 - 2raiz3 cdot 0 + 3raiz3 cdot 3pi4 + 9raiz3 cdot 3pi4
Simplificando:
= -3raiz3pi2 + 9raiz3pi4 + 27raiz3pi4 = ( -6raiz3pi4 + 36raiz3pi4 ) = 30raiz3pi4 = 15raiz3pi2

Resposta

integral duplaS (rot F) cdot n , dS = 15raiz3pi2

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