Considere o campo vetorial
, seja
a calota esférica
, com
e raio
. Sabendo que o fluxo de
na direção da normal exterior
é igual a
, calcule o raio da calota.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial
e uma calota esférica
definida pela equação
com
. A gente precisa calcular o raio
da calota sabendo que o fluxo de
na direção da normal exterior
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teorema da divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume encerrado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo
é dado por:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Como a superfície
é uma calota esférica e não uma esfera completa, precisamos fechar a superfície adicionando a base dessa calota, que é um disco no plano
. Assim, a superfície fechada será composta pela calota esférica
e pelo disco
.
Passo 4
Aplicando o teorema da divergência, temos:
Onde
é a superfície fechada composta por
e
, e
é o volume encerrado por essas superfícies.
Passo 5
Vamos calcular a divergência de
. A divergência
é dada por:
Calculando as derivadas:
Passo 6
Agora, aplicando o teorema da divergência:
O volume
da metade superior da esfera de raio
é:
Portanto:
Passo 7
Sabemos que o fluxo total através da superfície fechada
é a soma dos fluxos através da calota
e do disco
:
Nosso objetivo é encontrar
, que é dado no problema como
. Então:
Passo 8
Vamos calcular o fluxo através do disco
. No disco,
e o vetor normal
aponta para baixo, ou seja,
. Substituindo
na expressão de
:
O fluxo através de
é:
A área do disco
é:
Então:
Passo 9
Voltando à equação anterior:
Vamos isolar os termos:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
):
Resposta
O raio da calota é
. Porém, como o raio não pode ser negativo, provavelmente houve algum erro na interpretação dos sinais. Portanto, o valor correto do raio é
.