Seja . Determine o fluxo de através da parte do paraboloide que está acima do plano , sendo a normal com componente não negativa.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido. A gente tem um campo vetorial e precisa calcular o fluxo desse campo através de uma parte específica do paraboloide que está acima do plano . A normal deve ter componente não negativa. Para resolver isso, vamos usar o teorema da divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.

Passo 3

Calculando :
Como não depende de , a derivada em relação a é zero.

Passo 4

Calculando :
Aqui, também não depende de , então a derivada em relação a é zero.

Passo 5

Calculando :
A derivada de em relação a é 1.

Passo 6

Somando tudo, a divergência de é:

Passo 7

Agora, segundo o teorema da divergência:
Já que , o fluxo será igual ao volume limitado pelo paraboloide e pelo plano .

Passo 8

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. Nas coordenadas cilíndricas:
O paraboloide fica .

Passo 9

O limite inferior para é e o superior é . Então, .

Passo 10

Para encontrar os limites de , igualamos e :
Então, .

Passo 11

O ângulo varia de a . Então, nossa integral tripla fica:
Aqui, é o fator de Jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 12

Vamos integrar em primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 13

Agora, integramos em :

Passo 14

Por fim, integramos em :

Resposta

O fluxo de através da parte do paraboloide acima do plano é .

Exercícios relacionados

Calcule o fluxo do campo , através do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano , onde é a normal unitária exterior a .
Calcule , sendo e a curva interseção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano .
Calcule , sendo e a parte da esfera , com , orientada com exterior.
Considere o campo vetorial , seja a calota esférica , com e raio . Sabendo que o fluxo de na direção da normal exterior é igual a , calcule o raio da calota.