Seja
. Determine o fluxo de
através da parte do paraboloide
que está acima do plano
, sendo
a normal com componente
não negativa.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido. A gente tem um campo vetorial
e precisa calcular o fluxo desse campo através de uma parte específica do paraboloide
que está acima do plano
. A normal
deve ter componente
não negativa. Para resolver isso, vamos usar o teorema da divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Passo 3
Calculando
:
Como não depende de
, a derivada em relação a
é zero.
Como
Passo 4
Calculando
:
Aqui, também não depende de
, então a derivada em relação a
é zero.
Aqui,
Passo 5
Calculando
:
A derivada de em relação a
é 1.
A derivada de
Passo 6
Somando tudo, a divergência de
é:
Passo 7
Agora, segundo o teorema da divergência:
Já que
, o fluxo será igual ao volume
limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 8
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. Nas coordenadas cilíndricas:
O paraboloide
fica
.
Passo 9
O limite inferior para
é
e o superior é
. Então,
.
Passo 10
Para encontrar os limites de
, igualamos
e
:
Então,
.
Passo 11
O ângulo
varia de
a
. Então, nossa integral tripla fica:
Aqui,
é o fator de Jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 12
Vamos integrar em
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 13
Agora, integramos em
:
Passo 14
Por fim, integramos em
:
Resposta
O fluxo de
através da parte do paraboloide acima do plano
é
.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo do campo
, através do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
, onde
é a normal unitária exterior a
.
Calcule
, sendo
e
a curva interseção das superfícies
e
, orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano
.
Calcule
, sendo
e
a parte da esfera
, com
, orientada com
exterior.
Considere o campo vetorial
, seja
a calota esférica
, com
e raio
. Sabendo que o fluxo de
na direção da normal exterior
é igual a
, calcule o raio da calota.